泰勒展开表

函数	泰勒展开式（\(x \to 0\)）	通项公式 (\(\sum_{n=0}^{\infty}\))	收敛区间
\(e^x\)	\(1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots\)	\(\frac{x^n}{n!}\)	\((-\infty, +\infty)\)
\(\sin x\)	\(x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots\)	\((-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\)	\((-\infty, +\infty)\)
\(\cos x\)	\(1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots\)	\((-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}\)	\((-\infty, +\infty)\)
\(\ln(1+x)\)	\(x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots\)	\((-1)^{n-1} \frac{x^n}{n}\)	\((-1, 1]\)
\(\ln(1-x)\)	\(-x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} - \dots\)	\(-\frac{x^n}{n}\)	\([-1, 1)\)

\[(1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \dots + \frac{\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-n+1)}{n!}x^n + o(x^n)\]

收敛区间：通常为 \((-1, 1)\)，边界情况取决于 \(\alpha\).

常用特例：

\(\frac{1}{1-x}\) \(= 1 + x + x^2 + x^3 + \dots + x^n + o(x^n)\) (等比级数)
\(\frac{1}{1+x}\) \(= 1 - x + x^2 - x^3 + \dots + (-1)^n x^n + o(x^n)\)
\(\sqrt{1+x}\) \(= 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3 + o(x^3)\)
\(\frac{1}{\sqrt{1+x}}\) \(= 1 - \frac{1}{2}x + \frac{3}{8}x^2 - \frac{5}{16}x^3 + o(x^3)\)

函数	泰勒展开式（\(x \to 0\)）	记忆点
\(\arctan x\)	\(x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \dots\)	和 \(\sin x\) 类似，但无阶乘，收敛区间 \([-1, 1]\)
\(\arcsin x\)	\(x + \frac{1}{2}\frac{x^3}{3} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}\frac{x^5}{5} + \dots\)	系数是二项式系数，全是正号

其它：

\(\tan x = x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 + o(x^5)\)

奇偶性观察：
- 奇函数（\(\sin, \tan, \arcsin, \arctan\)）展开式只含奇次幂.
- 偶函数（\(\cos\)）展开式只含偶次幂.
“上下齐平，减而不尽”：
- 求极限时，展开到相减后剩下的第一项非零项/分子分母同阶为止.
变量代换法：
- 例如求 \(e^{-x^2}\) 的展开，只需将 \(e^u\) 中的 \(u\) 换成 \(-x^2\).
积分/微分推导：
- 如果你忘了 \(\arctan x\)，可以先写出 \(\frac{1}{1+x^2}\) 的级数，然后逐项积分得到.
- 同理，忘了 \(\ln(1+x)\)，可以对 \(\frac{1}{1+x}\) 求积分.