10 广义积分（反常积分）

讨论展布于无界区间上的积分（具有无穷积分限的积分，简称无穷积分）以及无界函数的积分（瑕积分）

广义积分的概念

具有无穷积分限的积分

定义：\([a,+\infty)\) 上的无穷积分

设函数 \(f\) 在 \([a, +\infty)\) 上有定义；并设对任何 \(H > a\)，函数在 \([a, H]\) 上可积. 如果存在有穷极限 \(\lim\limits_{H \to +\infty} \int_a^H f(x) dx,\) 那么我们就说函数 \(f\) 在 \([a, +\infty)\) 上广义可积，或者说无穷限积分 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 收敛，并把极限值定义为广义积分的值，记为

\[ \int_a^{+\infty} f(x) dx = \lim_{H \to +\infty} \int_a^H f(x) dx. \]

不收敛的积分称为发散积分. 如果极限值为 \(+\infty\)（或 \(-\infty\)），那么我们也说积分 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 发散于 \(+\infty\)（或 \(-\infty\)），记为

\[ \int_a^{+\infty} f(x) dx = +\infty (\text{或} - \infty). \]

对于 \((-\infty,b]\) 上的无穷积分，可做类似的讨论. 定义

\[ \int_{-\infty}^{b} f(x) dx = \lim_{H' \to -\infty} \int_{H'}^{b} f(x) dx. \]

定义：\((-\infty,+\infty)\) 上的无穷积分

设函数 \(f\) 在 \((-\infty, +\infty)\) 上有定义。如果存在 \(c \in (-\infty, +\infty)\)，使得积分

\[ \int_{-\infty}^{c} f(x) dx \quad 和 \quad \int_{c}^{+\infty} f(x) dx \]

都收敛，那么我们就说积分 \(\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx\) 收敛，并定义

\[ \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \int_{-\infty}^{c} f(x) dx + \int_{c}^{+\infty} f(x) dx. \]

注：

1. 根据关于积分区间的可加性，易证以上定义的积分值不依赖于 \(c\) 的选择.
2. 按照定义，为了考察函数 \(f\) 在 \((-\infty, +\infty)\) 的可积性，必须检验以下两个极限是否存在且有限：

\[ \lim_{H \to +\infty} \int_{c}^{H} f(x) dx \quad 和 \quad \lim_{H' \to -\infty} \int_{H'}^{c} f(x) dx. \]

这里的极限过程 \(H \to +\infty\) 与 \(H' \to -\infty\) 是彼此独立的. 不能只考虑展布在对称区间 \([-H,H]\) 上的积分的极限：

\[ \lim_{H \to +\infty} \int_{-H}^{H} f(x) dx, \]

瑕积分

• 情形1 函数 \(f\) 在 \([a,b)\) 上有定义，并且对任何 \(0<\eta<b-a\)，函数在 \([a,b-\eta]\) 上常义可积。对这种情形，函数 \(f\) 只可能在 \(b\) 点邻近无界. 如果 \(f\) 在 \(b\) 点邻近无界，那么我们就说 \(b\) 是 \(f\) 的一个瑕点.

• 情形2 函数 \(f\) 在 \((a,b]\) 上有定义，并且对任何 \(0<\eta<b-a\)，函数在 \([a+\eta,b]\) 上常义可积。对这种情形，\(a\) 点是可能的瑕点.

定义：瑕点在区间端点的瑕积分

设函数 \(f\) 在 \([a,b)\) 上有定义，并设对任何 \(0<\eta<b-a\)，函数在 \([a,b-\eta]\) 上常义可积。如果存在有穷的极限

\[ \lim_{\eta \to 0+} \int_a^{b-\eta} f(x) dx, \]

那么我们就说 \(f\) 在 \([a,b)\) 广义可积，或者说积分 \(\int_a^b f(x) dx\) 收敛，并把该极限值定义为广义积分的值，即定义

\[ \int_a^b f(x) dx = \lim_{\eta \to 0+} \int_a^{b-\eta} f(x) dx. \]

注： 关于在下限 \(a\) 处有瑕点的函数 \(f\) 的广义积分，可以用类似的方式来定义：

\[ \int_{a}^{b} f(x) dx = \lim_{\eta \to 0+} \int_{a+\eta}^{b} f(x) dx. \]

定义：瑕点为区间内点的瑕积分

设 \(a < c < b\)，函数 \(f\) 在 \([a, c)\) 和 \((c, b]\) 上有定义，并设对任何 \(0 < \eta < c - a\)，\(0 < \eta' < b - c\)，这函数在 \([a, c - \eta]\) 和 \([c + \eta', b]\) 上常义可积。如果积分

\[ \int_{a}^{c} f(x) dx \quad 和 \quad \int_{c}^{b} f(x) dx \]

都收敛，那么我们就说广义积分 \(\int_{a}^{b} f(x) dx\) 收敛，并定义

\[ \int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx + \int_{c}^{b} f(x) dx. \]

注： 按照定义，为了考察有唯一瑕点 \(c \in (a, b)\) 的函数 \(f\) 在 \([a, b]\) 上的广义可积性，必须检验以下两个极限是否存在且有限：

\[ \lim_{\eta \to 0+} \int_{a}^{c-\eta} f(x) dx \quad 和 \quad \lim_{\eta' \to 0+} \int_{c+\eta'}^{b} f(x) dx. \]

这里的两个极限过程 \(\eta \to 0+\) 与 \(\eta' \to 0+\) 是彼此独立的，不能只考虑 \(c - \eta\) 和 \(c + \eta\) 从 \(c\) 的两侧对称地趋于 \(c\) 的情形，只检验是否存在有穷的极限

\[ \lim_{\eta \to 0+} \left( \int_{a}^{c-\eta} f(x) dx + \int_{c+\eta}^{b} f(x) dx \right), \]

广义积分计算

广义积分的牛顿-莱布尼茨公式

定理：无穷积分的牛顿-莱布尼茨公式

设函数 \(f\) 在 \([a,+\infty)\) 上有定义并且连续，而函数 \(F\) 是 \(f\) 在 \([a, +\infty)\) 上的原函数。如果存在（有穷或无穷的）极限

\[ \lim_{x \to +\infty} F(x) \quad (\text{记为 } F(+\infty)), \]

那么就有

\[ \int_a^{+\infty} f(x) dx = F(+\infty) - F(a) = F(x) \bigg|_a^{+\infty}. \]

注：对于 \((-\infty,b]\) 和 \((-\infty,+\infty)\) 上的无穷积分，也有相似的牛顿莱布尼茨公式.

定理：以上限为瑕点的瑕积分的牛顿-莱布尼茨公式

设函数 \(f\) 在 \([a,b)\) 上连续,函数 \(F\) 是 \(f\) 在 \([a,b)\) 上的原函数.如果存在极限

\[ \lim_{x \to b^-} F(x) = F(b^-), \]

那么

\[ \int_a^b f(x) dx = F(b^-) - F(a). \]

广义积分的分部积分法

定理：无穷积分的分部积分法

设 \(u,v \in C^1[a,+\infty)\),（即 \(u,v\) 一阶连续可导） 则

\[ \int_a^{+\infty} u(x) dv(x) = u(x) v(x) \bigg|_a^{+\infty} - \int_a^{+\infty} v(x) du(x). \]

注：其它广义积分同理有相似分部积分法.

广义积分的换元积分法

定理：以上限为瑕点的瑕积分的换元积分法

设函数 \(f(x)\) 在 \([a,b)\) 连续,函数 \(x = \varphi(t)\) 在 \([\alpha,\beta)\) 有连续导数.如果 \(\varphi'(t) > 0\), \(\forall t \in (\alpha,\beta)\), \(\varphi((\alpha,\beta)) \subset (a,b)\), \(\varphi(\alpha) = a\), \(\varphi(\beta-) = b\), 那么

\[ \int_a^b f(x) dx = \int_\alpha^\beta f(\varphi(t))d\varphi(t). \]

注：其它广义积分同理有相似的分部积分法.

广义积分的收敛原理即其推论

无穷积分

无穷积分的收敛原理 广义积分 \(\int_{a}^{+\infty} f(x) dx\) 收敛的充要条件是：对任何 \(\varepsilon > 0\)，存在 \(\Delta > 0\)，使得只要 \(H' \geq H > \Delta\)，就有 \(\left| \int_{H'}^{H} f(x) dx \right| < \varepsilon.\)

无穷积分的比较判别法 设函数 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 在 \([a, +\infty)\) 上有定义，在任何闭子区间 \([a, H]\) 上常义可积，并且对充分大的 \(\Delta\) 满足不等式

\[ |f(x)| \leq g(x), \quad \forall x \in [\Delta, +\infty). \]

如果积分 \(\int_{a}^{+\infty} g(x) dx\) 收敛，那么积分 \(\int_{a}^{+\infty} f(x) dx\) 也收敛.

推论 设函数 \(f(x)\) 在 \([a, +\infty)\) 上有定义，在其任何的闭子区间 \([a,H]\) 上常义可积。如果积分 \(\int_a^{+\infty} |f(x)| dx\) 收敛，那么积分 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 也收敛.

注：上述推论的逆命题不成立.

定义：无穷积分的绝对收敛和条件收敛

如果广义积分 \(\int_a^{+\infty} |f(x)| dx\) 收敛，那么我们就说广义积分 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 绝对收敛. 如果广义积分 \(\int_a^{+\infty} |f(x)| dx\) 发散，但广义积分 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 收敛，那么我们就说广义积分 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 条件收敛。

注：所涉及的都是无穷上限的积分，类似的结果对无穷下限的积分以及双无穷限的积分都成立.

瑕积分

瑕积分的收敛原理 设函数 \(f(x)\) 在区间 \([a,b)\) 上有定义，在其任何闭子区间 \([a,b-\eta]\) 上常义可积，则瑕积分 \(\int_a^b f(x) dx\) 收敛的充要条件是：对任何 \(\epsilon > 0\)，存在 \(\delta > 0\)，使得只要 \(0 < \eta' < \eta < \delta\)，就有 \(\left| \int_{b-\eta}^{b-\eta'} f(x) \, dx \right| < \varepsilon.\)

瑕积分的比较判别法 设函数 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上有定义,在其任何闭子区间 \([a,b-\eta]\) 上常义可积，并且在 \(b\) 点邻近满足不等式

\[ |f(x)| \leq g(x), \quad \forall x \in [b-\delta,b). \]

如果瑕积分 \(\int_a^b g(x) \, dx\) 收敛,那么瑕积分 \(\int_a^b f(x) \, dx\) 也收敛.

推论 设函数 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上有定义,在其任何的闭子区间 \([a,b-\eta]\) 常义可积. 如果积分 \(\int_a^b |f(x)| \, dx\) 收敛,那么积分 \(\int_a^b f(x) \, dx\) 也收敛.

定义：瑕积分的绝对收敛和条件收敛

如果瑕积分 \(\int_a^b |f(x)| \, dx\) 收敛,那么我们就说瑕积分 \(\int_a^b f(x) \, dx\) 绝对收敛. 如果积分 \(\int_a^b |f(x)| \, dx\) 发散,但积分 \(\int_a^b f(x) \, dx\) 收敛,那么我们就说瑕积分 \(\int_a^b f(x) \, dx\) 条件收敛.

广义积分收敛性的一些判别法

无穷积分收敛性的判别法

对于前面给出的比较判别法，具体地取 \(g(x) = \frac{C}{x^p}\) 作为比较的标准，得到以下判别法：

引理：\(p\)-积分的敛散性 设 \(a > 0\) 为常数，关于幂函数 \(\frac{1}{x^p}\) 在无穷区间 \([a, +\infty)\) 上的反常积分：

\[ I = \int_a^{+\infty} \frac{1}{x^p} dx \]

具有如下敛散性结论：

1. 当 \(p > 1\) 时，积分 收敛；
2. 当 \(p \le 1\) 时，积分 发散.

定理：无穷积分绝对收敛的判别法

设函数 \(f(x)\) 在区间 \([a, +\infty)\) 上有定义，在其任何闭子区间 \([a,H]\) 上常义可积.

1. 如果存在 \(\Delta > a, p > 1, C > 0\)，使得 \(|f(x)| \leq \frac{C}{x^p}, \quad \forall x \geq \Delta,\) 那么积分 \(\int_a^{+\infty} f(x) dx\) 绝对收敛；

2. 如果存在 \(\Delta > a, p \leq 1, C > 0\)，使得 \(|f(x)| \geq \frac{C}{x^p}, \quad \forall x \geq \Delta,\) 那么积分 \(\int_a^{+\infty} |f(x)| dx\) 发散.

3. 为了对充分大的 \(x\)，比较 \(|f(x)|\) 与 \(\frac{C}{x^p}\)，我们考察以下比值的极限状况：

\[ \frac{|f(x)|}{\frac{1}{x^p}} = x^p |f(x)|. \]

推论 设函数 \(f(x)\) 在区间 \([a, +\infty)\) 上有定义，在其任何闭子区间 \([a,H]\) 上常义可积，并设存在极限

\[ \lim_{x \to +\infty} x^p |f(x)| = B, \]

则有

1. 如果 \(p > 1, B < +\infty\)，那么 \(\int_a^{+\infty} |f(x)| dx\) 收敛；
2. 如果 \(p \leq 1, B > 0\)，那么 \(\int_a^{+\infty} |f(x)| dx\) 发散.

以上定理只适用于判别积分是否绝对收敛. 为了判别条件收敛性，有以下法则.

定理：狄利克雷判别法

设函数 \(f\) 和 \(g\) 在区间 \([a, +\infty)\) 上有定义，在其任意闭子区间 \([a, H]\) 上常义可积. 如果

1. 存在 \(\Delta > a\)，使得 \(f\) 在 \([\Delta, +\infty)\) 上是单调的，并且 \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 0;\)
2. 存在 \(K \geq 0\)，使得

\[ \left| \int_a^H g(x) dx \right| \leq K, \quad \forall H \geq a, \]

那么积分

\[ \int_a^{+\infty} f(x) g(x) dx \]

收敛.

定理：阿贝尔判别法

设函数 \(f\) 和 \(g\) 在区间 \([a,+\infty)\) 上有定义，在其任何闭子区间 \([a,H]\) 上常义可积. 如果

1. 存在 \(\Delta > a\)，使得 \(f\) 在 \([\Delta,+\infty)\) 上单调并且有界；
2. 积分

\[ \int_{a}^{+\infty} g(x) dx \]

收敛，那么积分

\[ \int_{a}^{+\infty} f(x) g(x) dx \]

也收敛.

注：

1. 以上两个判别法中，狄利克雷判别法对 \(f\) 的要求更加严格，必须（在 \(x\) 充分大处）单调收敛于0（阿贝尔只要求单调有界，即极限不一定为0），而阿贝尔判别法对 \(g\) 的要求更严格， 其无穷积分必须收敛/原函数在无穷处收敛（狄利克雷只要求有界）.
2. 狄利克雷判别法：主要处理本身不收敛，但在 \(f(x)\) 作用下“压”到收敛的积分，如 \(\int_{1}^{+\infty}\frac{\sin x}{x}dx\).
3. 阿贝尔判别法：用一个“温和”的系数保持已有的收敛性，如 \(\int_1^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \cdot \arctan x \, dx\).

瑕积分收敛性的判别法

略.