05 导数和微分

导数与微分的概念

拉格朗日记号 $f'(x_0)$，莱布尼茨记号 $\frac{df(x_0)}{dx}$ 或 $\frac{dy}{dx}$.
导数是差商 $\frac{\Delta f(x_0)}{\Delta x}$ （或 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ ）的极限，因此导数也叫微商.

单侧导数

定理若函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域上有定义，则 $f'(x_0)$ 存在的充要条件是 $f'_+(x_0)$ 与 $f'_-(x_0)$ 都存在，且 $f'_+(x_0)=f'_-(x_0)$.

导数相关性质

导函数极限定理

如果函数在某一点附近导数的极限存在，那么这个极限值就是该点处的导数值.

导函数介值定理（达布定理）

设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上可导。若 $f'(a) = A$，$f'(b) = B$，且 $A \neq B$。则对于介于 $A$ 和 $B$ 之间的任意实数 $k$，在开区间 $(a, b)$ 内至少存在一点 $c$，使得： $$f'(c) = k$$

特殊情况（零点存在形式）： 若 $f'(a) \cdot f'(b) < 0$（即导数在端点处异号），则在 $(a, b)$ 内至少存在一点 $c$，使得 $f'(c) = 0$。

微分

定义设函数 $f(x)$ 在 $x$ 点邻近有定义，如果

\[ f(x+h) - f(x) = Ah + o(h), \]

其中 $A$ 与 $h$ 无关（可以依赖于 $x$），那么我们就说函数 $f$ 在 $x$ 点可微.

定理函数 $f$ 在 $x$ 点可导的充要条件是它在 $x$ 点可微.

注：

由于这定理的缘故，人们把可导和可微这两个概念当作同义词来使用. 求导数的方法又称为微分法.
易得上述表示式中 $A=f'(x)$ 是唯一确定的.

定理设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 点可微（可导），那么它在这点连续.

注：逆命题不成立.

定义：微分

设函数 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 点可微. 引入记号

\[ \begin{array}{l} dx:=\Delta x,\\ dy:=f'(x_0)dx=f'(x_0)\Delta x, \end{array} \]

并把 $dy$ 叫做函数 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 点的微分.

注记：

从几何的角度来看，微分 $dy = f'(x_0) dx$ 正好是切线函数的增量；
从代数的角度来看，微分 $dy = f'(x_0) dx$ 是增量 $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$ 的线性主部，$dy$ 与 $\Delta y$ 仅仅相差一个高阶的无穷小量 $o(\Delta x)$，因而当 $\Delta x$ 充分小时，可以用 $dy$ 作为 $\Delta y$ 的近似值.这一事实是微分的许多实际应用的基础；
原来，我们引入 $\frac{dy}{dx}$ 作为导数的记号，有了微分的概念之后，又可以把记号 $\frac{dy}{dx}$ 解释为 $dy$ 与 $dx$ 之商： $$ \frac{dy}{dx} = f'(x_0). $$

求导法则，高阶导数

和，差，积，商的求导法则

略.

反函数的求导法则

设 $y = f(x)$ 为 $x = \varphi(y)$ 的反函数。若 $\varphi(y)$ 在点 $y_0$ 的某邻域上连续，严格单调且 $\varphi'(y_0) \neq 0$，则 $f(x)$ 在点 $x_0$（其中 $x_0 = \varphi(y_0)$）可导，且

\[ f'(x_0) = \frac{1}{\varphi'(y_0)} = \frac{1}{\varphi'(f(x_0))}. \]

注 1. 反函数的求导法则也可写作

\[ \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}. \]

复合函数的求导法则

引理 $f(x)$ 在点 $x_0$ 可导的充要条件是：在 $x_0$ 的某邻域 $U(x_0)$ 上，存在一个在点 $x_0$ 连续的函数 $H(x)$，使得

\[ f(x)-f(x_0)=H(x)(x-x_0). \]

进一步可知 $f'(x_0)=H(x_0)$.

注：引理说明了点 $x_0$ 是函数 $g(x)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ 的可去间断点的充要条件是 $f(x)$ 在点 $x_0$ 可导.

定理设 $u = \varphi(x)$ 在点 $x_0$ 可导，$y = f(u)$ 在点 $u_0 = \varphi(x_0)$ 可导，则复合函数 $f \circ \varphi$ 在点 $x_0$ 可导，且

\[ (f \circ \varphi)'(x_0) = f'(u_0) \varphi'(x_0) = f'(\varphi(x_0)) \varphi'(x_0). \tag{1} \]

注1 复合函数的求导公式(1)亦称为链式法则。函数 $y = f(u), u = \varphi(x)$ 的复合函数在点 $x$ 的求导公式一般也写作

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}. \tag{2} \]

对于由多个函数复合而得到的复合函数，其导数公式可反复应用(2)式而得.

注2 $f'(\varphi(x)) = f'(u) \big|_{u = \varphi(x)}$ 与 $(f(\varphi(x)))' = f'(\varphi(x)) \varphi'(x)$ 的含义不可混淆.

微分表示的不变性

将复合函数 $f(\varphi(t))$ 对 $t$ 求导得：

\[ (f(\varphi(t)))' = f'(\varphi(t)) \varphi'(t). \]

上述两边都乘以 $dt$ 就得到

\[ d(f(\varphi(t))) = f'(\varphi(t)) \, d\varphi(t). \]

这就是说：不论 $x$ 是自变量，或者 $x = \varphi(t)$ 是另一个变量 $t$ 的函数，函数 $f(x)$ 的微分表示式都具有相同的形式 $$ df(x) = f'(x) \, dx. $$ 这一结论叫作微分表示的不变性.

参变量函数的求导法则

对于参数表示的函数

\[ x=\varphi(t),\quad y=\psi(t), \]

可以按下式求导：

\[ \frac{dy}{dx}=\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)} \]

(要求 $\varphi'(t)\neq0$ ).

复合函数的高阶导数

通常遵循以下递归逻辑：

\[\frac{d^n y}{dx^n} = \frac{\frac{d}{dt} \left( \frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} \right)}{\frac{dx}{dt}}\]

注：以上都是已知求导点处 $t$ 的值，给出其它值要转化成 $t$ 的值.

定义：光滑曲线

若 $\varphi,\psi$ 在共同的定义区间上都存在连续的导函数，且 $\varphi'^2+\psi'^2\neq0$，这是称 $C$ 为光滑曲线. 此时曲线 $C$ 上不仅每一点都有切线，且切线与 $x$ 轴正向的夹角 $\alpha(t)$ 是 $t$ 的连续函数.

高阶导数

约定 $f^{(0)}(x)=f(x)$.
函数 $f$ 在 $x$ 点的 $n$ 阶导数记为 $f^{(n)}(x)$ 或 $\frac{d^ny}{dx^n}$.

定理：莱布尼茨公式

设函数 $u$ 和 $v$ 都在 $x_0$ 点 $n$ 次可导，则这两函数的乘积 $uv$ 也在 $x_0$ 点 $n$ 次可导，并且在该点有

\[ (uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(n-k)} v^{(k)}, \]

这里 $\binom{n}{k} = C_n^k$ 是二项式系数，即

\[ \binom{n}{0} = 1, \quad \binom{n}{k} = \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!} \quad (k=1,2,\cdots,n). \]

对考察求导的题目：特别注意高阶导数的求导对象，如复合函数的二阶导问题等.

无穷小增量公式和有限增量公式

无穷小增量公式

定义：无穷小增量公式

$f(x_0+\Delta x) = f(x_0)+f'(x_0)\Delta x+o(\Delta x).$ 等类似形式的公式称为无穷小增量公式.

注：无穷小增量公式反应了当 $\Delta x = x-x_0 \rightarrow 0$ 时函数的变化状况.

定义：极值与极值点

若函数 $f$ 在点 $x_0$ 的某邻域 $U(x_0)$ 上对一切 $x \in U(x_0)$ 有

\[ f(x_0) \geq f(x) \quad (f(x_0) \leq f(x)), \]

则称函数 $f$ 在点 $x_0$ 取得极大（小）值，称点 $x_0$ 为极大（小）值点。极大值、极小值统称为极值，极大值点、极小值点统称为极值点.

定理：费马定理

设函数 $f$ 在点 $x_0$ 的某邻域上有定义，且在点 $x_0$ 可导. 若点 $x_0$ 为 $f$ 的极值点，则必有 $f'(x_0)=0$.

定义：稳定点

称满足方程 $f'(x)=0$ 的点为稳定点/驻点/临界点.

定理设函数 $f$ 在 $[a,b]$ 连续，在 $(a,b)$ 可导。如果方程 $f'(x) = 0$ 在 $(a,b)$ 中只有有限个根 $x_1, x_2, \cdots, x_k$，那么函数 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上的最大值 $M$ 和最小值 $m$ 分别为

\[ M = \max\{f(a), f(x_1), \cdots, f(x_k), f(b)\} \]

\[ m = \min\{f(a), f(x_1), \cdots, f(x_k), f(b)\}. \]

注上面定理对 $f$ 在 $(a, b)$ 中无稳定点的情形也适用。这时应有：

\[ M = \max\{f(a), f(b)\} \quad \text{和} \quad m = \min\{f(a), f(b)\}. \]

有限增量公式

无穷小增量公式反映当 $x \rightarrow x_0$ 时函数 $f$ 的渐近性态. 它只适合于研究函数的局部状况.为考察函数在较大范围中的状况，需要对“有限增量”成立的相应的公式.

定理：罗尔中值定理

设函数 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 连续，在开区间 $(a,b)$ 可导，并且满足 $f(a) = f(b)$. 则存在 $c\in(a,b)$，使得 $f'(c) = 0$.

定理：拉格朗日中值定理

设函数 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 连续，在开区间 $(a,b)$ 可导，则至少存在一点 $c\in(a,b)$，使得 $f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$. 拉格朗日中值定理有以下变形：

\[ \displaylines{ f(x) = f(x_0)+f'(\xi)(x-x_0),\\ f(x) = f(x_0)+f(x_0+\theta(x-x_0))(x-x_0),\\ f(x_0+h) = f(x_0)+f'(x_0+\theta h)h,\\ f(x_0+\Delta x) = f(x_0)+f'(x_0+\theta\Delta x)\Delta x, } \]

以上公式被称为有限增量公式.

函数的升降与极值

定理

$f$ 在 $I$ 递增 $\Longleftrightarrow$ $f'(x)\ge0,\quad\forall x\in I^0$;
$f$ 在 $I$ 递减 $\Longleftrightarrow$ $f'(x)\le0,\quad\forall x\in I^0$.

定理设函数 $f$ 在区间 $I$ 连续，在 $I^0$ 可导，则有

$f$ 在 $I$ 上严格递增的充要条件是：$f'(x) \geq 0, \forall x \in I^0$，并且 $f'(x)$ 不在 $I$ 的任何一个开子区间上恒等于0；
$f$ 在 $I$ 上严格递减的充要条件是：$f'(x) \leq 0, \forall x \in I^0$，并且 $f'(x)$ 不在 $I$ 的任何一个开子区间上恒等于0。

定理：极值的第一充分条件

设函数 $f$ 在区间 $I$ 有定义，在 $U(x_0, \eta) \subseteq I$ 连续，在 $U^{\circ}(x_0, \eta)$ 可导。

如果 $f'(x)(x-x_0) > 0, \quad \forall x \in U^{\circ}(x_0, \eta)$，那么函数 $f$ 在 $x_0$ 点取得严格的极小值；
如果 $f'(x)(x-x_0) < 0, \quad \forall x \in U^{\circ}(x_0, \eta)$，那么函数 $f$ 在 $x_0$ 点取得严格的极大值。

注：上面的定理甚至没有要求函数 $f$ 在 $x_0$ 点可导，因而能应用于这样的函数：

\[ f(x) = |x|, \quad x \in [-1,1]. \]

定理：极值的第二充分条件

设函数 $f$ 在区间 $I$ 有定义，在 $x_0 \in I^0$ 处二阶可导，并设 $f'(x_0) = 0$，则有：

如果 $f''(x_0) > 0$，那么函数 $f$ 在 $x_0$ 点取得严格的极小值；
如果 $f''(x_0) < 0$，那么函数 $f$ 在 $x_0$ 点取得严格的极大值。

定理设函数 $f$ 在区间 $I$ 连续，在 $I^0$ 二阶可导，而 $x_0$ 是 $f$ 在 $I^0$ 中的唯一的稳定点，则：

如果 $f''(x_0) > 0$，那么 $f(x_0)$ 是函数 $f$ 在区间 $I$ 上的最小值；
如果 $f''(x_0) < 0$，那么 $f(x_0)$ 是函数 $f$ 在区间 $I$ 上的最大值。