04 连续函数
连续与间断
\(f\) 在 \(x_0\) 点连续
一般地，设函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 点邻近有定义，如果
那么就说函数 \(f\) 在 \(x_0\) 点连续.
定义I：连续的序列方式定义
设函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 点的邻域 \(U(x_0, \eta)\) 上有定义。如果对任何满足条件 \(x_n \to x_0\) 的序列 \(\{x_n\} \subset U(x_0, \eta)\)，都有
那么我们就说函数 \(f\) 在 \(x_0\) 点连续，或者说 \(x_0\) 点是函数 \(f\) 的连续点.
定义II：连续的 \(\varepsilon-\delta\) 语言定义 设函数 \(f\) 在 \(x_0\) 点的邻域 \(U(x_0, \eta)\) 上有定义。如果对任意 \(\varepsilon > 0\)，存在 \(\delta > 0\)，使得只要 \(|x - x_0| < \delta\)，就有
那么我们就说函数 \(f\) 在 \(x_0\) 点连续，或者说 \(x_0\) 点是函数 \(f\) 的连续点.
\(f\) 在连续点 \(x_0\) 邻近的局部性质
局部有界性 设函数 \(f\) 在 \(x_0\) 点连续，则存在 \(\delta > 0\)，使得函数 \(f\) 在 \(U(x_0, \delta)\) 上有界.
局部保号性 若函数 \(f\) 在点 \(x_0\) 连续，且 \(f(x_0) > 0\)（或 \(< 0\)），则对任何正数 \(r < f(x_0)\)（或 \(r < -f(x_0)\)），存在某 \(U(x_0)\)，使得对一切 \(x \in U(x_0)\)，有
注 在具体应用局部保号性时，常取 \(r = \frac{1}{2} f(x_0)\)，则（当 \(f(x_0) > 0\) 时）存在某 \(U(x_0)\)，使在其上有 \(f(x) > \frac{1}{2} f(x_0)\)。
四则运算 设函数 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 在 \(x_0\) 点连续，则
- \(f(x) \pm g(x)\) 在 \(x_0\) 处连续；
- \(f(x) \cdot g(x)\) 在 \(x_0\) 处连续；
- \(\frac{f(x)}{g(x)}\) 在使得 \(g(x_0) \neq 0\) 的 \(x_0\) 处连续.
注： 因为常值函数 \(f(x) \equiv c\) 在任意 \(x_0\) 点连续，所以从 (2) 可以得到：
- \(c g(x)\) 在 \(x_0\) 点连续.
保不等式性 设函数 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 在 \(x_0\) 点连续。如果 \(f(x_0) < g(x_0)\)，那么存在 \(\delta > 0\)，使得对于 \(x \in U(x_0, \delta)\) 有
注：此性质与函数极限的保不等式性区分，条件与结论都严格不相等.
定理 设函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 点连续，则函数 \(|f(x)|\) 也在 \(x_0\) 点连续.
复合函数的连续性
设函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 点连续，函数 \(g(y)\) 在 \(y_0 = f(x_0)\) 点连续，那么复合函数 \(g \circ f(x) = g(f(x))\) 在 \(x_0\) 点连续.
单侧连续性
引入记号：
定义：单侧连续
设函数 \(f(x)\) 在 \((x_0 - \eta, x_0]\) 上有定义. 如果
那么我们就说函数 \(f\) 在 \(x_0\) 点左侧连续，类似地可以定义右侧连续.
函数 \(f\) 在 \(x_0\) 点连续的定义可以写成
间断点
当 \(f\) 在 \(x_0\) 某去心邻域 \(U^{\circ}(x_0)\) 有定义但在 \(x_0\) 点不连续，有：
情形1 函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 点的两个单侧极限 \(f(x_0-)\) 和 \(f(x_0+)\) 都存在；
情形2 函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 点的至少一个单侧极限不存在.
定义：两类间断点(不连续点)
设函数 \(f(x)\) 在 \(U(x_0, \eta)\) 上有定义，在 \(x_0\) 点不连续。如果出现上述情形1，那么我们就说 \(x_0\) 点是函数 \(f\) 的第一类间断点；如果出现上述情形2，那么我们就说 \(x_0\) 点是函数 \(f\) 的第二类间断点.
定义：第一类间断点的分类
- 可去间断点 若
而 \(f\) 在 \(x_0\) 点无定义或有定义但 \(f(x_0)\neq A\) ，则称点 \(x_0\) 为 \(f\) 的可去间断点.
- 跳跃间断点 若函数 \(f\) 在点 \(x_0\) 的左、右极限都存在，但
则称点 \(x_0\) 为函数 \(f\) 的跳跃间断点.
闭区间上连续函数的重要性质
定义：\(f\) 在闭区间上连续
如果函数 \(f\) 在闭区间 \([a,b]\) 上有定义，在每一点 \(x\in(a,b)\) 连续，在 \(a\) 点右侧连续，在 \(b\) 点左侧连续，那么我们就说函数 \(f\) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续.
定义：分段连续
若函数 \(f\) 在区间 \([a,b]\) 上仅有有限个第一类间断点，则称 \(f\) 在 \([a,b]\) 上分段连续.
介值定理
定理：根的存在性定理
设函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([a,b]\) 连续. 如果 \(f(a)\) 与 \(f(b)\) 异号：\(f(a)f(b)<0\)，那么必定存在一点 \(c\in(a,b)\)，使得 \(f(c) = 0\).
定理：介值定理
设函数 \(f\) 在闭区间 \([a, b]\) 连续。如果在这闭区间的两端点的函数值 \(f(a) = \alpha\) 与 \(f(b) = \beta\) 不相等，那么在这两点之间函数 \(f\) 能够取得介于 \(\alpha\) 与 \(\beta\) 之间的任意值 \(\gamma\). 这就是说，如果 \(f(a) < \gamma < f(b)\)（或者 \(f(a) > \gamma > f(b)\)），那么存在 \(c \in (a, b)\)，使得 \(f(c) = \gamma\).
最大值与最小值定理
引理：有界性定理
设函数 \(f\) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续，则 \(f\) 在 \([a,b]\) 上有界.
定理：最大值与最小值定理
设函数 \(f\) 在闭区间 \([a, b]\) 上连续，记
则存在 \(x', x'' \in [a, b]\)，使得
一致连续性
定义：一致连续
设 \(E\) 是 \(\mathbb{R}\) 的一个子集，函数 \(f\) 在 \(E\) 上有定义。如果对任意 \(\epsilon > 0\)，存在 \(\delta > 0\)，使得只要
就有
那么我们就说函数 \(f\) 在集合 \(E\) 上是一致连续的.
定理：一致连续性定理
如果函数 \(f\) 在闭区间 \(I = [a,b]\) 上连续，那么它在 \(I\) 上是一致连续的.
定理 若 \(f\) 在有限区间 \((a,b)\) 上连续，那么 \(f\) 在 \((a,b)\) 上一致连续 \(\Longleftrightarrow\) \(f(a+)\) 与 \(f(b-)\) 存在.
注：把断点用极限值补齐，就能填补成闭区间上的连续函数.
定理：一致连续性的序列式描述
设 \(E\) 是 \(\mathbb{R}\) 的一个子集，函数 \(f\) 在 \(E\) 上有定义。则 \(f\) 在 \(E\) 上一致连续的充要条件是：对任何满足条件
的序列 \(\{x_n\} \subseteq E\) 和 \(\{y_n\} \subseteq E\)，都有
反函数的连续性
把闭区间、开区间、半开区间、退化的闭区间（单点集）等统称为区间.
定理 设函数 \(f\) 在区间 \(I\) 上严格单调并且连续，则它的反函数 \(g=f^{-1}\) 在区间 \(J=f(I)\) 上严格单调并且连续.
初等函数连续性
定理 一切基本初等函数（幂、指、对、三角、反三角）都是其定义域上的连续函数.
定理 任何初等函数（基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算所构成的，并且可以用一个解析式表示的函数）都是在其定义区间上的连续函数.