03 函数极限

函数极限概念

\(x\) 趋近于 \(x_0\) 或 \(\infty\) 时函数的极限

• 讨论函数极限 \(\lim\limits_{x\to x_0}F(x)\) 的时候， 我们一般只要求函数 \(F(x)\) 在 \(x_0\) 点的某个去心邻域上有定义。也就是说，函数 \(F(x)\) 在 \(x_0\) 点处的极限与函数在 \(x_0\) 点是否有定义/值为多少 无关.

• 函数极限有海涅(Heine)提出的序列式定义（归结原则）和柯西(Cauchy)提出的 \(\varepsilon-\delta\) 式定义。前者可统一解决各类极限问题（联系数列和函数极限），后者给出清晰的几何解释. 两种定义是等价的.

定义I(Heine):

对于任意满足以下三个条件的数列 \(\{x_n\}\)：

1. \(x_n \in U^\circ(x_0)\) （在定义域内）；
2. \(x_n \neq x_0\) （永远不等于 \(x_0\) 自身）；
3. \(\lim\limits_{n \to \infty} x_n = x_0\) （数列收敛于 \(x_0\)）.

都有：

对应函数值的数列 \(\{f(x_n)\}\) 收敛于 \(A\)，即 \(\lim\limits_{n \to \infty} f(x_n) = A\).

注1： 其中 \(x_0\) 和 \(A\) 都有可能是有穷/正无穷/负无穷/无穷.

注2：若可以找到一个以 \(x_0\) 为极限的数列 \(\{x_n\}\) ，使 \(\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)\) 不存在，或找到两个都以 \(x_0\) 为极限的数列 \(\{x_n'\}\) 与 \(\{x_n''\}\) ，使 \(\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n')\) 与 \(\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n'')\) 都存在而不相等，则 \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\) 不存在.

定义II ( \(\varepsilon-\delta\) 定义)

1. 设 \(a, A \in \mathbb{R}\)，并设函数 \(f(x)\) 在 \(a\) 点的某个去心邻域 \(U^{\circ}(a, \eta)\) 上有定义。如果对任意 \(\varepsilon > 0\)，存在 \(\delta > 0\)，使得只要 \(0 < |x - a| < \delta\)，就有

\[ |f(x) - A| < \varepsilon, \]

那么我们就说：\(x \to a\) 时函数 \(f(x)\) 的极限是 \(A\)，记为

\[ \lim_{x \to a} f(x) = A. \]

几何解释：对于 \(A\) 的任何 \(\varepsilon\) 邻域 \(U(A, \varepsilon)\)，存在 \(a\) 的去心 \(\delta\) 邻域 \(U^{\circ}(a, \delta)\)，使得只要 \(x\) 进入 \(U^{\circ}(a, \delta)\)，相应的函数值 \(f(x)\) 就进入 \(U(A, \varepsilon)\)：

\[ (\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in \tilde{U}(a, \delta))(f(x) \in U(A, \varepsilon)). \]

1. ( \(a=+\infty,A\in \mathbb{R}\) )( \(a\in\mathbb{R},A=+\infty\) )( \(a=+\infty,A=+\infty\) )略

注： \(\delta\) 的取值依赖于 \(\varepsilon\) .

单侧极限

定义（序列方式） 设 \(a \in \mathbb{R}\), \(A \in \mathbb{R}\)，并设函数 \(f(x)\) 在 \((a - \eta, a)\) 有定义. 如果对任意满足条件 \(x_n \to a\) 的序列 \(\{x_n\} \subset (a - \eta, a)\)，相应的函数值序列 \(\{f(x_n)\}\) 都以 \(A\) 为极限，那么我们就说：\(x \to a\) 时函数 \(f(x)\) 的极限为 \(A\)，记为

\[ \lim_{x \to a^-} f(x) = A. \]

定理

设函数 \(f\) 在点 \(x_0\) 的某空心右邻域 \(U^{\circ}_+(x_0)\) 上有定义. \(\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=A\) 的充要条件是：对任何以 \(x_0\) 为极限的递减数列 \(\{x_n\}\subset U^{\circ}_+(x_0)\) ，有 \(\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)=A\).

注：该定理基于任何数列都有单调子列的思想，放宽了归结原则（序列方式定义）对任意满足极限条件的数列的限制，同理对做极限只要求满足条件的递增数列即可.

定义（\(\varepsilon - \delta\) 方式）

设 \(a, A \in \mathbb{R}\)，并设函数 \(f(x)\) 在 \((a - \eta, a)\) 有定义. 如果对任意 \(\varepsilon > 0\)，存在 \(\delta > 0\)，使得只要

\[ a - \delta < x < a, \]

就有

\[ |f(x) - A| < \varepsilon, \]

那么我们就说：\(x \to a\) 时函数 \(f(x)\) 的极限为 \(A\)，记为

\[ \lim_{x \to a^-} f(x) = A. \]

定义（\(E - \delta\) 方式）

设 \(a \in \mathbb{R}\)，并设函数 \(f(x)\) 在 \((a - \eta, a)\) 有定义。如果对任意 \(E > 0\)，存在 \(\delta > 0\)，使得只要

\[ a - \delta < x < a, \]

就有

\[ f(x) > E, \]

那么我们就说当 \(x \to a\) 时函数 \(f(x)\) 的极限为 \(+\infty\)，记为

\[ \lim_{x \to a^-} f(x) = +\infty. \]

以上定义左侧极限。对右侧极限有类似定义.

定理

1. \(\lim\limits_{x\to x_0} f(x)=A \Leftrightarrow \lim\limits_{x\to x_0^+} f(x) = \lim\limits_{x\to x_0^-} f(x) = A.\)
2. \(\lim\limits_{x\to\infty} f(x) = A \Leftrightarrow \lim\limits_{x\to-\infty} f(x) = \lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = A.\)

定理

单调函数的单侧极限总是存在的.（包含非正常极限）

1. 设函数 \(f(x)\) 在开区间 \((a - \eta, a)\) 上递增（递减），则

\[ \lim_{x \to a^-} f(x) = \sup_{x \in (a - \eta, a)} f(x) \left( \inf_{x \in (a - \eta, a)} f(x) \right). \]

1. 设函数 \(f(x)\) 在开区间 \((a, a + \eta)\) 上递增（递减），则

\[ \lim_{x \to a^+} f(x) = \inf_{x \in (a, a + \eta)} f(x) \left( \sup_{x \in (a, a + \eta)} f(x) \right). \]

函数极限的性质（参考数列极限性质）

唯一性 若极限 \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\) 存在，则此极限是唯一的.

局部有界性 若 \(\lim\limits_{x\to x_0} f(x)\) 存在，则 \(f\) 在 \(x_0\) 的某空心邻域 \(U^{\circ}(x_0)\) 上有界.

局部保号性 若 \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x) = A>0(或<0)\) ，则对任何正数 \(r<A(或r<-A)\) ，存在 \(U^{\circ}(x_0)\) ，使得对一切 \(x\in U^{\circ}(x_0;\delta)\) ，有

\[ f(x)>r>0(或f(x)<-r<0). \]

保不等式性 设 \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\) 与 \(\lim\limits_{x\to x_0}g(x)\) 都存在，且在某邻域 \(U^{\circ}(x_0,\delta')\) 上，有 \(f(x)\le g(x)\) 则

\[ \lim\limits_{x\to x_0} f(x) \le \lim\limits_{x\to x_0} g(x). \]

迫敛性（夹逼定理） 设 \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x) = \lim\limits_{x\to x_0}g(x) = A\) ，且在某 \(U^{\circ}(x_0,\delta')\) 上有

\[ f(x)\le h(x)\le g(x), \]

则 \(\lim\limits_{x\to x_0}h(x)=A.\)

四则运算法则 略.

复合函数极限

设函数 \(g\) 在 \(b\) 点某个去心邻域 \(U^{\circ}(b)\) 上有定义，\(\lim\limits_{y\to b}g(y)=c\) ，又设函数 \(f\) 在 \(a\) 点的某个去心邻域 \(U^{\circ}(a)\) 上有定义，\(f\) 把 \(U^{\circ}(a)\) 中的点映到 \(U^{\circ}(b)\) 之中（ \(f(U^{\circ}(a))\subset U^{\circ}(b)\) ）并且 \(\lim\limits_{x\to a}f(x)=b\) . 则有

\[ \lim\limits_{x\to a}g(f(x))=c. \]

函数极限的收敛原理

定理：柯西准则

设函数 \(f\) 在 \(U^{\circ}(x_0; \delta')\) 上有定义。\(\lim\limits_{x \to x_0} f(x)\) 存在的充要条件是：任给 \(\varepsilon > 0\)，存在正数 \(\delta\)（\(0 < \delta < \delta'\)），使得对任何 \(x', x'' \in U^{\circ}(x_0, \delta)\)，有 \(|f(x') - f(x'')| < \varepsilon\).

无穷小量与无穷大量

无穷小量（无穷大量）的概念

定义：无穷小量

设 \(f\) 在某 \(U^{\circ}(x_0)\) 上有定义. 若

\[ \lim\limits_{x\to x_0}f(x)=0. \]

则称 \(f\) 为当 \(x\to x_0\) 时的无穷小量.

定义：有界量

若函数 \(g\) 在某 \(U^{\circ}(x_0)\) 上有界，则称 \(g\) 为当 \(x\to x_0\) 时的有界量.

定义：无穷大量

设 \(f\) 在某 \(U^{\circ}(x_0)\) 上有定义. 若

\[ \lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\infty. \]

则称 \(f\) 为当 \(x\to x_0\) 时的无穷大量.

注：无界函数不一定是无穷大量，如 \(f(x)=x\sin x\) . 无穷大量必须具有非正常极限.

无穷小量（无穷大量）阶的比较

定义：引入记号与阶的比较

设函数 \(\varphi(x)\) 和 \(\psi(x)\) 在 \(a\) 点的某个去心邻域 \(U^{\circ}(a)\) 上有定义，并设在 \(U^{\circ}(a)\) 上 \(\varphi(x) \neq 0\)。我们分别用记号“\(O\)”、“\(o\)”与“\(\sim\)”，表示比值 \(\frac{\psi(x)}{\varphi(x)}\) 在 \(a\) 点邻近的几种状况：

1. \(\psi(x) = O(\varphi(x))\) 表示 \(\frac{\psi(x)}{\varphi(x)}\) 是 \(x \to a\) 时的有界变量（即 \(\frac{\psi(x)}{\varphi(x)}\) 在 \(a\) 点的某个去心邻域上是有界的）；

2. \(\psi(x) = o(\varphi(x))\) 表示 \(\frac{\psi(x)}{\varphi(x)}\) 是 \(x \to a\) 时的无穷小量（即 \(\lim\limits_{x \to a} \frac{\psi(x)}{\varphi(x)} = 0\)）；

3. \(\psi(x) \sim \varphi(x)\) 表示 \(\lim\limits_{x \to a} \frac{\psi(x)}{\varphi(x)} = 1\).

\(O\), \(o\) 和这些记号都是相对于一定的极限过程而言的。使用时通常要附以记号 \((x \to a)\)，以说明所涉及的极限过程。例如：

\[ \sin x = o(x) \quad (x \to \infty), \quad \sin x \sim x \quad (x \to 0). \]

特别指出：记号

\[ \psi(x) = O(1) \quad (x \to a) \]

表示 \(\psi(x)\) 在 \(a\) 点的某个去心邻域上有界；而记号

\[ \omega(x) = o(1) \quad (x \to a) \]

表示 \(\lim\limits_{x \to a} \omega(x) = 0\).

设 \(\varphi(x)\) 和 \(\psi(x)\) 都是无穷小量（无穷大量）. 如果 \(\psi(x) = o(\varphi(x))\)，就说 \(\psi(x)\) 是 \(\varphi(x)\) 的高阶无穷小量（低阶无穷大量）. 如果 \(\psi(x) = O(\varphi(x))\)，那么我们就说 \(\psi(x)\) 是 \(\varphi(x)\) 的同阶无穷小量（同阶无穷大量）. 如果 \(\psi(x) \sim \varphi(x)\)，那么我们就说 \(\psi(x)\) 是 \(\varphi(x)\) 的等价无穷小量（等价无穷大量）.

注：\(o(\varphi(x)),O(\varphi(x))\) 表示量的一种类型，等号应该当作 \(\in\) 理解.

无穷小量与无穷大量的性质

定理

设 \(\varphi(x)\) 和 \(\psi(x)\) 在 \(a\) 点的某个去心邻域 \(U^{\circ}(a)\) 上有定义， \(\varphi(x)\neq0\) ，则有

\[ \psi(x)\sim\varphi\Longleftrightarrow\psi(x) = \varphi(x)+o(\varphi(x)). \]

定理

设 \(\varphi(x)\) 在 \(a\) 点的某一去心邻域上有定义并且不等于 \(0\)，则有

1. \(o(\varphi(x)) = O(\varphi(x))\)；
2. \(O(\varphi(x)) + O(\varphi(x)) = O(\varphi(x))\)；
3. \(o(\varphi(x)) + o(\varphi(x)) = o(\varphi(x))\)；
4. \(o(\varphi(x))O(1) = o(\varphi(x))\)，\(o(1)O(\varphi(x)) = o(\varphi(x))\)。

定理：等价无穷小（大）量在求乘积或商的极限时的应用

如果 \(x \to a\) 时 \(\psi(x) \sim \varphi(x)\)，那么就有：

\[ \lim_{x \to a} \psi(x) f(x) = \lim_{x \to a} \varphi(x) f(x); \]

\[ \lim_{x \to a} \frac{\psi(x) f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{\varphi(x) f(x)}{g(x)}; \]

\[ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{\psi(x) g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{\varphi(x) g(x)}. \]

这里，我们设所有的函数在 \(a\) 点的某个去心邻域上有定义，作为分母的函数在这个去心邻域上不为0，并设各式右端的极限存在.