02 数列极限
1. 有界序列与无穷小序列
引理 如果 \(\{\alpha_n\}\) 是无穷小序列，那么它也是有界序列.
定理 关于有界序列与无穷小序列：
-
无穷小序列与有界序列的乘积是无穷小序列.
-
\(\{\alpha_n\}\) 是无穷小序列 \(\Leftrightarrow\) \(\{|\alpha_n|\}\) 是无穷小序列.
推论 有限个无穷小序列的和或乘积也是无穷小序列
2. 收敛序列
2.1 两种定义数列极限的方式
\(\epsilon-N\) 定义： 设 \(\{a_n\}\) 为数列，\(a\) 为定数。若对任给的正数 \(\epsilon\) ， 总存在正整数 \(N\) ，使得当 \(n>N\) 时， 有
则称数列 \(\{a_n\}\) 收敛于 \(a\) ，定数 \(a\) 称为数列 \(\{a_n\}\) 的极限.
另一种定义： 任给 \(\epsilon>0\) ，若存在 \(U(a;\epsilon)\) 之外数列 \(\{a_n\}\) 中的项至多有有限个，则称数列 \(\{a_n\}\) 收敛于极限 \(a\) .
2.2 收敛序列的等价陈述
设 \(\{x_n\}\) 是实数序列， \(a\) 是实数。则以下三种陈述等价：
- 序列 \(\{x_n\}\) 以 \(a\) 为极限；
- \(\{x_n-a\}\) 是无穷小序列；
- 存在无穷小序列 \(\{a_n\}\) 使得
- 在极限的讨论中引入无穷小序列，常常可使复杂问题简单化.
2.3 收敛序列的性质
唯一性 若数列极限存在，则数列极限唯一.
有界性 收敛数列必有界.
四则运算法则： 即极限具有线性运算性质， 注意仅对有限个极限的运算运用,且以极限存在为前提.
保号性 若 \(\lim\limits_{n \to \infty} a_n=a>0(<0)\) , 则对任何 \(a'\in(0,a)\) （或 \(a'\in(a,0)\) ）， 存在正数 \(N\) 使得当 \(n>N\) 时，有 \(a_n>a'\) （或 \(a_n<a'\) ）.
- 实际应用时，通常取 \(a'=\frac{a}{2}\) .
保序性 设 \(\lim\limits_{n \to \infty} a_n=a\) , \(\lim\limits_{n \to \infty} b_n=b\) , \(a<b\) , 则存在 \(N\) ，使得当 \(n>N\) 时，有 \(a_n<b_n\).
推论 分别令保序性描述中的 \(\{a_n\}\), \(\{b_n\}\) 为常数列得到两个推论， 推论三结合两个推论： 如果
那么存在 \(N \in \mathbb{N}\) , 使得当 \(n>N\) 时， 就有
保不等式性 设 \(\{a_n\}\) 与 \(\{b_n\}\) 均为收敛数列。若存在正数 \(N_0\) , 使得当 \(n>N_0\) 时， 有 \(a_n \le b_n\) , 则 \(\lim\limits_{n \to \infty} a_n\le\lim\limits_{n \to \infty} b_n\).
- 注意条件和结论中一定带有等号，不是严格不等式
迫敛性（夹逼定理） 设收敛数列 \(\{a_n\}\) , \(\{b_n\}\) 都以 \(a\) 为极限，数列 \(\{c_n\}\) 满足：存在正数 \(N_0\) ，当 \(n>N_0\) 时，有
则数列 \(\{c_n\}\) 收敛，且 \(\lim\limits_{n \to \infty} c_n=a\) .
2.4 收敛原理
定理1（单调有界定理） 递增序列 \(\{x_n\}\) 收敛的充要条件是它有上界.
- 证明思路： 确界原理+数列极限定义
推论 递减序列 \(\{y_n\}\) 收敛的充要条件是它有下界.
注：
- \(\lim x_n=\sup\{x_n\}\)， \(\lim y_n=\inf\{y_n\}.\)
- 单调条件可削弱为在某一项之后单调.
定理2 数列 \(\{a_n\}\) 收敛的充要条件是： \(\{a_n\}\) 的任何子列都收敛.
引理 任意数列都存在单调子列.
定理3（致密性定理） 任何有界数列必定存在收敛的子列.
- 证明：取单调子列，利用单调有界定理
定义 如果序列 \(\{x_n\}\) 满足条件: 对任意 \(\epsilon>0\) , 存在 \(N \in \mathbb{N}\) , 使得当 \(m,n>N\) 时， 就有
那么就称这序列为基本序列（或柯西序列）.
引理 基本序列是有界的.[[Courses/Mathematical Analysis/技巧总结/数列极限#1.2 加减辅助项（涉及绝对值的不等式）| 证明]]
定理4（柯西收敛准则） 数列 \(\{x_n\}\) 收敛 \(\Leftrightarrow\) \(\{x_n\}\) 是柯西数列.
- 等价陈述（常用）: \(\{x_n\}\) 收敛 \(\Leftrightarrow\) \(\forall\epsilon>0, \exists N\in\mathbb{N},\text{使得对}\forall n>N\text{和}p\in\mathbb{N},\) 都有 \(|x_{n+p}-x_n|<\epsilon\).
Stolz 定理
设 \(\{x_n\}\) 和 \(\{y_n\}\) 是实数序列，\(0<x_1<x_2<\cdots<x_n<x_{n+1}<\cdots\)，并且 \(\lim x_n = +\infty\)，如果存在有穷极限 \(\lim\frac{y_n-y_{n-1}}{x_n-x_{n-1}} = a\) ，那么也就一定有 \(\lim\frac{y_n}{x_n} = a\).