01 实数

\(R\) 的任何非空而有上界的子集合\(D\) 在\(R\) 中有上确界.

等价表述： \(R\) 的任何非空而有下界的子集合\(D\) 在\(R\) 中有下确界.

确界原理说明了实数域的连续性。
如集合 \(A = \{x \in R | x^2 < 2\}\) , 根据确界原理，有最小上界\(S\) , 可证明\(S^2 = 2\) ,\(S\) 就是 \(\sqrt2\) 。即确界原理确保 \(\sqrt2\) 这样的无理数必须存在于实数系中，把有理数的“孔洞”填满（有理数域是稠密的，但不是连续的）.
几何意义：戴德金分割
由于实数域的连续性是微积分存在的前提，确界原理可以推导出微积分中很多重要的定理.

定义如果一列闭区间 \(\{[a_n,b_n]\}\) 满足条件

\[ (1) [a_n,b_n]\supset[a_{n+1},b_{n+1}],\forall n\in\mathbb{N}; \]

\[ (2)\lim(b_n-a_n)=0, \]

则称该列闭区间形成一个闭区间套.

定理（区间套定理） 如果实数序列 \(\{a_n\}\) 和 \(\{b_n\}\) 满足条件

\[ (1)a_{n-1}\le a_n\le b_n\le b_{n-1},\forall n>1; \]

\[ (2)\lim(b_n-a_n)=0, \]

那么

注：一定是闭区间套.

推论若 \(\xi\in[a_n,b_n](n=1,2,\cdots)\) 是区间套 \(\{[a_n,b_n]\}\) 所确定的点，则对任给的 \(\varepsilon>0\) , 存在 \(N>0\) , 使得当 \(N>0\) ，使得当 \(n>N\) 时，有

\[ [a_n,b_n] \subset U(\xi;\varepsilon). \]

定义设 \(S\) 为数轴上的点集， \(\xi\) 为定点（属于或不属于 \(S\) ）. 若 \(\xi\) 的任何邻域都含有 \(S\) 中无穷多个点，则称 \(\xi\) 为点击 \(S\) 的一个聚点.

等价表述：

对于点集 \(S\) ，若点 \(\xi\) 的任何 \(\varepsilon\) 邻域都含有 \(S\) 中异于 \(\xi\) 的点，即 \(U^\circ(\xi;\varepsilon)\cap S \neq\emptyset\) , 则称 \(\xi\) 为 \(S\) 的一个聚点.
若存在各项互异的收敛数列 \(\{x_n\}\subset S\) ，则其极限 \(\lim\limits_{n\to \infty}=\xi\) 称为 \(S\) 的一个聚点.

定理（聚点定理） 实轴上的任意有界无限点集 \(S\) 至少有一个聚点.

注：致密性定理（有界数列必有收敛子列）是聚点定理的一种特殊情形. (各项看作点，极限即为聚点)

定理（有限覆盖定理） 设 \(H\) 为闭区间 \([a,b]\) 的一个（无限）开覆盖，则从 \(H\) 中可选出有限个开区间来覆盖 \([a,b]\) .

证明：反证法+区间套定理

注：只对闭区间成立. 如 \(\{(\frac{1}{n+1},1)\}(n=1,2,\cdots)\) 构成开区间 \((0,1)\) 的一个开覆盖，但不能选出有限个开区间覆盖 \((0,1)\) *.