常见放缩
1. 基础不等式
1.1 绝对值不等式
-
三角不等式
\[ |a+b|\le |a|+|b| \] -
反三角不等式
\[ \bigl||a|-|b|\bigr|\le |a-b| \] -
一般化三角不等式
\[ \left|\sum_{k=1}^n a_k\right| \le \sum_{k=1}^n |a_k| \]
1.2 平方放缩
- 基本平方不等式
\[2ab \le a^2 + b^2\]
- 完全平方构造法
\[a^2 + b^2 \ge \frac{(a+b)^2}{2} \]
1.3 乘法型不等式（AM-GM）
-
二元 AM-GM
\[ \frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}\quad (a,b\ge 0) \] -
多元 AM-GM
\[ \frac{a_1+\cdots+a_n}{n} \ge (a_1\cdots a_n)^{1/n} \]
1.4 Cauchy–Schwarz 不等式
\[
\left(\sum_{k=1}^n a_k b_k\right)^2 \le
\left(\sum_{k=1}^n a_k^2\right)
\left(\sum_{k=1}^n b_k^2\right)
\]
积分形式
\[
\left(\int_a^b fg\right)^2 \le
\left(\int_a^b f^2\right)\left(\int_a^b g^2\right)
\]
2. 常用放缩技巧
2.1 估大小法（Upper Bound）
在分析极限、级数、积分时常通过“压住”复杂项：
- 若
\[|f(x)| \le g(x), \quad g(x)\to 0, \]
则
\[f(x)\to 0. \]
- 常见的“粗估”：
\[\sin x \le |x|\]
\[1-\frac{x^2}{2} \le \cos x \le 1\]
\[e^x \ge 1+x \]
2.2 夹逼放缩法
\[
a_n \le b_n \le c_n,\qquad a_n,c_n\to L
\Rightarrow b_n\to L
\]
典型例子：
\[
\sin x \le x \le \tan x
\]
3. 级数与极限中的放缩技巧
3.1 等价无穷小放缩
常用等价关系（(x \(\to\) 0)）:
\[
\sin x \sim x,\quad \tan x \sim x,\quad e^x -1 \sim x,\quad \ln(1+x)\sim x
\]
用于放缩：
\[
|\sin x| \le |x|,\qquad
\left|\frac{\sin x}{x}\right| \le 1
\]
3.2 单调性辅助放缩
若 (f) 在某区间单调递增，则
\[
x<y \Rightarrow f(x)\le f(y)
\]
典型：
- \(e^x\) 递增 → 方便构造指数界。
- \(\ln(1+x)\le x\)
4. 积分中的放缩
4.1 去绝对值或加绝对值
\[
\left|\int_a^b f(x),dx\right| \le \int_a^b |f(x)|,dx
\]
4.2 用最大/最小值放缩
若 \(m\le f(x)\le M\)，则
\[
m(b-a)\le \int_a^b f(x),dx \le M(b-a)
\]
5. 典型放缩模板
5.1 “加零减零”构造法
\[
a-b = (a-c) + (c-b) \Rightarrow |a-b|\le |a-c|+|c-b|
\]
常用于：
- 证明一致连续
- 控制误差
6. 高级常用放缩
6.1 Jensen 不等式（凸函数）
凸函数 (f) 满足
\[
f\left(\sum \lambda_i x_i\right)
\le
\sum \lambda_i f(x_i)
\]