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常用极限

一、 第一类核心体系：\(\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)

（核心思想：正弦函数在原点附近的线性化）

这是处理三角函数极限的基石. 由此出发，结合三角恒等式和泰勒展开，可以衍生出一系列等价无穷小.

1. 基础极限

\[ \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \]

2. 一阶衍生（直接变形）

  • 正切函数：

    \[ \lim_{x\to 0} \frac{\tan x}{x} = 1 \]

    推导： \(\frac{\tan x}{x} = \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{\cos x} \to 1 \cdot 1 = 1\).

  • 反三角函数： $$ \lim_{x\to 0} \frac{\arcsin x}{x} = 1, \quad \lim_{x\to 0} \frac{\arctan x}{x} = 1 $$

    推导： 令 \(t = \arcsin x\)，则 \(x = \sin t\)，原式变为 \(\lim_{t\to 0} \frac{t}{\sin t} = 1\).

3. 二阶衍生（余弦与平方的关系）

  • 余弦项：

    \[ \lim_{x\to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2} \]

    推导： 利用半角公式 \(1 - \cos x = 2\sin^2(\frac{x}{2})\).

    \[ \frac{2\sin^2(x/2)}{x^2} = \frac{2\sin^2(x/2)}{4(x/2)^2} = \frac{1}{2} \left(\frac{\sin(x/2)}{x/2}\right)^2 \to \frac{1}{2} \]

  • 正割项：

    \[ \lim_{x\to 0} \frac{\sec x - 1}{x^2} = \frac{1}{2} \]

    推导： \(\sec x - 1 = \frac{1}{\cos x} - 1 = \frac{1-\cos x}{\cos x} \sim \frac{x^2/2}{1}\).

二、 第二类核心体系：\(\lim\limits_{x\to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e\)

（核心思想：从幂指函数转化为对数函数）

这是处理 \(1^\infty\) 型极限、对数、指数和幂函数极限的基石.

1. 基础极限

\[ \lim_{x\to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e \quad \text{或} \quad \lim_{x\to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e \]

2. 对数衍生（取对数后的极限）

  • 对数函数： $$ \lim_{x\to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1 $$

    推导： \(\frac{1}{x}\ln(1+x) = \ln(1+x)^{\frac{1}{x}} \to \ln e = 1\).

    • 推广：\(\lim\limits_{x\to 0} \frac{\log_a(1+x)}{x} = \frac{1}{\ln a}\)。

3. 指数衍生（对数的反函数）

  • 指数函数：

    \[ \lim_{x\to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 \]

    推导： 令 \(t = e^x - 1\)，则 \(x = \ln(1+t)\)，原式变为 \(\lim\limits_{t\to 0} \frac{t}{\ln(1+t)} = 1\).

    • 推广：\(\lim\limits_{x\to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a\).

4. 幂函数衍生（二项式展开）

  • 伯努利/二项式形式：

    \[ \lim_{x\to 0} \frac{(1+x)^\alpha - 1}{x} = \alpha \]

    推导： 利用 \(u^\alpha = e^{\alpha \ln u}\)。\(\frac{e^{\alpha \ln(1+x)} - 1}{x} \sim \frac{\alpha \ln(1+x)}{x} \sim \frac{\alpha \cdot x}{x} = \alpha\)。 * 常见特例：\(\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1+x}-1}{x} = \frac{1}{2}\)，\(\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt[n]{1+x}-1}{x} = \frac{1}{n}\)。

三、 无穷大的“阶”与增长速度

当 \(x \to +\infty\) 时，不同函数的趋向无穷大的速度差异巨大。掌握这个顺序可以“秒杀”很多极限。

增长速度链（从慢到快）：

\[ \ln x \ll x^\alpha \ (\alpha > 0) \ll a^x \ (a > 1) \ll x! \ll x^x \]

由此衍生的极限：

  1. 对数 vs 幂：\(\lim\limits_{x\to +\infty} \frac{\ln x}{x^\alpha} = 0\)
  2. 幂 vs 指数：\(\lim\limits_{x\to +\infty} \frac{x^n}{e^x} = 0\) （洛必达法则用 \(n\) 次的结果）
  3. 指数 vs 阶乘：\(\lim\limits_{n\to \infty} \frac{a^n}{n!} = 0\)
  4. 阶乘 vs 幂指：\(\lim\limits_{n\to \infty} \frac{n!}{n^n} = 0\)

四、 几个重要的数列极限（\(n \to \infty\)）

这些在判别级数收敛性或处理特殊数列时非常重要.

  1. 开方极限：

    \[ \lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{n} = 1 \]
    \[ \lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{a} = 1 \quad (a > 0) \]

  2. 斯特林公式推论（阶乘的开方）：

    \[ \lim_{n\to \infty} \frac{\sqrt[n]{n!}}{n} = \frac{1}{e} \]

    解释： \(n!\) 增长极快，大约是 \((n/e)^n\) 的级别。

  3. 切萨罗求和（Cesàro Mean）： 如果 \(\lim_{n\to \infty} a_n = A\)，则其算术平均值极限也是 A：

    \[ \lim_{n\to \infty} \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} = A \]

五、 实用速查表：常见等价无穷小（\(x \to 0\)）

做题时，这就是你的“武器库”。当 \(x \to 0\) 时：

简单项 (\(x^1\)) 平方项 (\(x^2\))
\(\sin x \sim x\) \(1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2\)
\(\tan x \sim x\) \(\sec x - 1 \sim \frac{1}{2}x^2\)
\(\arcsin x \sim x\) \(\cosh x - 1 \sim \frac{1}{2}x^2\)
\(\arctan x \sim x\)
\(\ln(1+x) \sim x\)
\(e^x - 1 \sim x\)
\((1+x)^\alpha - 1 \sim \alpha x\)