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常用函数

一、 基础与分段类函数

1. 符号函数

\[ \text{sgn}(x) = \begin{cases} 1, & x > 0 \\ 0, & x = 0 \\ -1, & x < 0 \end{cases} \]

二、 有理数与无理数（病态函数）

这一类函数主要用于探讨连续性、黎曼可积性（与勒贝格可积性）的区别。

3. 狄利克雷函数

\[ D(x) = \begin{cases} 1, & x \in \mathbb{Q} \text{ (有理数)} \\ 0, & x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \text{ (无理数)} \end{cases} \]
  • 性质：
    • 处处不连续：在任何点均无极限。
    • 周期性：任何有理数都是它的周期（基本周期不存在）。
    • 不可积性：在任何区间上黎曼不可积（振幅始终为1）。
    • （勒贝格可积：在 \([0,1]\) 上勒贝格积分为 0）。
  • 用途：
    • 作为“处处不连续”的极端反例。
    • （区分黎曼积分与勒贝格积分）。

4. 黎曼函数

\[ R(x) = \begin{cases} \frac{1}{q}, & x = \frac{p}{q} \in \mathbb{Q} \cap (0,1), (p,q)=1 \\ 0, & x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \text{ 或 } x=0,1 \end{cases} \]

（注：对于 \(x\) 是无理数，值为0；对于 \(x\) 是既约分数 \(p/q\)，值为 \(1/q\)）

  • 性质：
    • 在所有无理点连续。
    • 在所有有理点间断（可去间断点，极限为0）。
    • 在 \([0,1]\) 上黎曼可积，且积分为 0。
  • 用途：
    • 构造一个“几乎处处连续但有稠密间断点”的函数。
    • 证明：函数有无数个间断点依然可能黎曼可积（只要间断点集是零测集，即勒贝格准则）。

三、 震荡与导数反例系列

这一系列函数由 \(x^\alpha \sin(\frac{1}{x^\beta})\) 构成，核心在于原点附近的高频震荡。

5. 基础震荡函数：\(\sin(\frac{1}{x})\)

  • 定义：\(f(x) = \sin(1/x), x \neq 0\)。
  • 性质：
    • \(x \to 0\) 时，函数值在 \([-1, 1]\) 之间无限震荡，极限不存在。
    • \(x=0\) 是第二类间断点。
  • 用途：
    • 证明极限不存在的经典例子。
    • 证明一致连续性时（如在 \((0,1)\) 上非一致连续）。

6. 连续但不可导：\(x \sin(\frac{1}{x})\)

\[ f(x) = \begin{cases} x \sin(\frac{1}{x}), & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases} \]
  • 性质：
    • 连续：\(\lim\limits_{x\to 0} x \sin(1/x) = 0 = f(0)\)（夹逼定理）。
    • 不可导：在 \(x=0\) 处导数定义式极限震荡不存在。
  • 用途：
    • 连续不一定可导。

7. 可导但导函数不连续：\(x^2 \sin(\frac{1}{x})\)

\[ f(x) = \begin{cases} x^2 \sin(\frac{1}{x}), & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases} \]
  • 性质：
    • 处处可导：\(f'(0) = \lim_{x\to 0} \frac{x^2\sin(1/x)}{x} = 0\)。
    • 导函数不连续：当 \(x \neq 0\) 时，\(f'(x) = 2x\sin(1/x) - \cos(1/x)\)。当 \(x \to 0\) 时，前项趋于0，但后项 \(\cos(1/x)\) 震荡，故 \(\lim_{x\to 0} f'(x)\) 不存在。
  • 用途：
    • 极其重要：证明可导函数的导函数 \(f'(x)\) 未必连续。
    • 达布定理的例子：虽然 \(f'\) 不连续，但它仍具有介值性质。