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08 行列式

行列式的公理化定义

定义

数域 \(\mathbb{F}\) 上的一个 \(n\) 阶行列式是取值于 \(\mathbb{F}\) 的 \(n\) 个 \(n\) 维向量 \(\alpha_1, \alpha_2, \dots , \alpha_n \in \mathbb{F}^n\) 的一个函数，且 \(\forall \alpha_i , \beta_i \in \mathbb{F}^n\) 和 \(\forall\lambda \in \mathbb{F}\)，满足下列规则：

  1. (齐性) \(D(\alpha_1, \dots , \lambda\alpha_i , \dots , \alpha_n) = \lambda D(\alpha_1, \dots , \alpha_i , \dots , \alpha_n)；\)
  2. (加性，与 1 合称线性性) \(D(\alpha_1, \dots , \alpha_i + \beta_i , \dots , \alpha_n) = D(\alpha_1, \dots , \alpha_i , \dots , \alpha_n) + D(\alpha_1, \dots , \beta_i , \dots , \alpha_n)；\)
  3. (反对称性) \(D(\alpha_1, \dots , \alpha_i , \dots , \alpha_j , \dots , \alpha_n) = −D(\alpha_1, \dots , \alpha_j , \dots , \alpha_i , \dots , \alpha_n)；\)
  4. (规范性) \(D(e_1, e_2, \dots , e_n) = 1.\)
行列式的简单性质
  1. 若行列式有一列为零向量，则行列式的值等于 0.
  2. 若行列式有两列元素相同，则行列式的值等于 0.
  3. 若行列式有两列元素成比例，则行列式的值等于 0.
  4. 对行列式做倍加列变换，行列式的值不变.
  5. 若 \(\alpha_1, \alpha_2, \dots , \alpha_n\) 线性相关，则 \(D(\alpha_1, \alpha_2, \dots , \alpha_n) = 0.\)
上三角矩阵的行列式

上三角矩阵的行列式的值等于其主对角线元素之积，即对任意矩阵

\[ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}, \]

有 \(|A| = \prod_{i=1}^n a_{ii}\).

行列式的逆序数定义

引入

给定一个行列式

\[ |A| = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}, \]

记 \(A = (\alpha_1, \ldots, \alpha_n)\)，并记 \(e_i\) 为 \(n\) 维单位向量，即 \(e_i = (0, \ldots, 1, \ldots, 0)^T\)，其中 \(1\) 在第 \(i\) 个位置。这样，行列式的第 \(j\) 列就可以表达为

\[ \alpha_j = a_{1j}e_1 + a_{2j}e_2 + \cdots + a_{nj}e_n = \sum_{i=1}^na_{ij}e_i. \]

根据行列式公理化定义的线性性质，有

\[ |A| = D(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n) = D\left( \sum_{i=1}^na_{i1}e_i, \alpha_2, \ldots, \alpha_n \right) = \sum_{i=1}^na_{i1}D(e_i, \alpha_2, \ldots, \alpha_n). \]

对行列式 \(D(e_i, \alpha_2, \ldots, \alpha_n)\) 继续展开，由 \(\alpha_2 = \sum_{j=1}^na_{j2}e_j\)，我们有

\[ D(e_i, \alpha_2, \ldots, \alpha_n) = \sum_{j=1}^na_{j2}D(e_i, e_j, \alpha_3, \ldots, \alpha_n). \]

于是 \(|A| = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^na_{i1}a_{j2}D(e_i, e_j, \alpha_3, \ldots, \alpha_n)\)。不断展开，我们最终得到

\[ |A| = \sum_{k_1, k_2, \ldots, k_n} a_{k_1}a_{k_2}\cdots a_{k_n}D(e_{k_1}, e_{k_2}, \ldots, e_{k_n}). \]

行列式 \(D(e_{k_1}, e_{k_2}, \ldots, e_{k_n})\) 在某对 \(k_i, k_j\) 重复时的值为0，所以在不为0的项中，\((k_1, k_2, \ldots, k_n)\) 必定是 \((1, 2, \ldots, n)\) 的一个全排列，即在 \(k_1, k_2, \ldots, k_n\) 中，\(1, 2, \dots, n\) 中每个数都出现且仅出现一次。因此 \(D(e_{k_1}, e_{k_2}, \ldots, e_{k_n}) = \pm 1\).可表达为

\[ |A|=\sum_{(k_1,k_2,\ldots,k_n)\in S_n}(-1)^\varepsilon a_{k_11}a_{k_22}\cdots a_{k_nn}. \]
定义：逆序数

设 \((k_1, k_2, \dots , k_n) \in S_n\)，如果 \(i < j\) 且 \(k_i > k_j\)，则称 \(k_i , k_j\) 是这个排列的一个逆序对，排序中所有逆序对的总数称为这个排列的逆序数，记作 \(\tau (k_1, k_2, \dots , k_n)\).

求法：设排列为 \((k_1, k_2, \dots , k_n)\)，那么我们先看 \(k_1\) 后面有多少个数比 \(k_1\) 小，然后看 \(k_2\) 后面有多少个数比 \(k_2\) 小，以此类推，最后将所有这些数相加即可.

定义：奇排列和偶排列

如果一个排列的逆序数是偶数（包括零），则称这个排列是偶排列；如果一个排列的逆序数是奇数，则称这个排列是奇排列.

性质
  1. 设 \((k_1, k_2, \dots , k_n) \in S_n\)，若将 \(k_i\) 与 \(k_j\) 交换，其余数不动，那么排列的奇偶性会改变；
  2. 设 \(n \ge 2\)，则 \(S_n\) 中奇排列和偶排列的个数相等.
引理

设 \((k_1, k_2, \dots , k_n) \in S_n\)，则通过 \(\tau (k_1, k_2, \dots , k_n)\) 次相邻对换可以将 \((k_1, k_2, \dots , k_n)\) 变为 \((1, 2, \dots , n)\)，因此 \(\varepsilon = \tau (k_1, k_2, \dots , k_n)\).

行列式的逆序数定义

设

\[ |A| = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}, \]

则

\[ |A| = \sum_{(k_1, k_2, \ldots, k_n) \in S_n} (-1)^{\tau(k_1, k_2, \ldots, k_n)} a_{k_1 1} a_{k_2 2} \cdots a_{k_n n}. \]

行列式的递归式定义

定义：余子式和代数余子式

在 \(n\) 阶行列式 \(D = |a_{ij} |_{n\times n}\)中，去掉元素 \(a_{ij}\) 所在的第 \(i\) 行和第 \(j\) 列的所有元素而得到的 \(n − 1\) 阶行列式称为元素 \(a_{ij}\) 的余子式，记作 \(M_{ij}\)，并把数 \(A_{ij} = (−1)^{i+j}M_{ij}\) 称为元素 \(a_{ij}\) 的代数余子式.

注：行列式、余子式、代数余子式虽然在名称中含有“式”，但实际上都是值.

定义：行列式的递归式定义

设 \(D = |a_{ij}|_{n \times n}\)，则

\[ D = \sum_{k=1}^{n} a_{kj} A_{kj} = a_{1j} A_{1j} + a_{2j} A_{2j} + \cdots + a_{nj} A_{nj} \quad j = 1, 2, \ldots, n \]
\[ D = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} A_{ik} = a_{i1} A_{i1} + a_{i2} A_{i2} + \cdots + a_{in} A_{in} \quad i = 1, 2, \ldots, n \]

注：上面两式分别称为 \(D\) 对第 \(j\) 列的展开式和 \(D\) 对第 \(i\) 行的展开式.

定理

\(n\) 阶行列式 \(D = |a_{ij}|_{n \times n}\) 的某一行（列）元素与另一行（列）相应元素的代数余子式的乘积之和等于 0，即

\[ \sum_{k=1}^{n} a_{kj} A_{ki} = a_{1j} A_{1i} + a_{2j} A_{2i} + \cdots + a_{nj} A_{ni} = 0 \quad (j \neq i) \]
\[ \sum_{k=1}^{n} a_{jk} A_{ik} = a_{j1} A_{i1} + a_{j2} A_{i2} + \cdots + a_{jn} A_{in} = 0 \quad (j \neq i) \]

行列式的基本性质

设 \(A, B \in \mathbb{F}^{n \times n}, \, k \in \mathbb{F}\)，则

  1. 一般情况下，\(|A \pm B| \neq |A| \pm |B|\)；
  2. \(|kA| = k^n |A|\)；
  3. 初等矩阵行列式（注意初等矩阵不分行列，左乘右乘区分初等行列变换）：\(|E_{ij}| = -1, \, |E_i(c)| = c, \, |E_{ij}(k)| = 1;\)
  4. \(|AB| = |A||B|, \, |A^k| = |A|^k;\)
  5. \(A\) 可逆 \(\Longleftrightarrow |A| \neq 0\)；
  6. \(|A^T| = |A|;\)
  7. 上、下三角矩阵行列式均为主对角线元素的乘积；
  8. 若 A 可逆，则 \(|A^{−1}| = |A|^{−1}\) .

伴随矩阵

称矩阵

\[ A^* = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \end{pmatrix} \]

为 \(A\) 的伴随矩阵，其中 \(A_{ij}\) 是元素 \(a_{ij}\) 的代数余子式.

注：\(A^∗\) 中代数余子式的下标排列顺序与 \(A\) 中元素的下标排列顺序不同，与 \(A^T\) 相同.

伴随矩阵的性质
  1. \(AA^* = A^*A = |A|E\)，若 \(A\) 可逆，则有 \(A^{-1} = |A|^{-1}A^*\)，\(A^* = |A|A^{-1}\)，\((A^*)^{-1} = (A^{-1})^* = |A|^{-1}A\).
  2. \(|A^*| = |A|^{n-1}\)，无论 \(A\) 是否可逆.
  3. \((AB)^* = B^*A^*\)，\((A^T)^* = (A^*)^T\)，\((kA)^* = k^{n-1}A^*\)，（ \(A\) 和 \(B\) 可逆时利用1.的证明）.
  4. \(A\) 可逆时，\((A^*)^* = |A|^{n-2}A\)，\(|(A^*)^*| = |A|^{(n-1)^2}\)（本题结论可以推广到更多重的伴随矩阵）.
  5. 对正整数 \(k\)，\((A^k)^* = (A^*)^k\).
\[ r(A^*) = \begin{cases} n & r(A) = n \\ 1 & r(A) = n - 1 \\ 0 & r(A) < n - 1 \end{cases} \]

行列式秩

定义：矩阵子式

矩阵 \(A = (a_{ij})_{m \times n}\) 的任意 \(k\) 行（\(i_1 < i_2 < \cdots < i_k\) 行）和任意 \(k\) 列（\(j_1 < j_2 < \cdots < j_k\) 列）的交点上的 \(k^2\) 个元素排成的行列式

\[ \begin{vmatrix} a_{i_1 j_1} & a_{i_1 j_2} & \cdots & a_{i_1 j_k} \\ a_{i_2 j_1} & a_{i_2 j_2} & \cdots & a_{i_2 j_k} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i_k j_1} & a_{i_k j_2} & \cdots & a_{i_k j_k} \end{vmatrix} \]

称为矩阵 \(A\) 的一个 \(k\) 阶子式，若子式等于 0 则称 \(k\) 阶零子式，否则称非零子式.当 \(A\) 为方阵且 \(i_t = j_t\)（\(t = 1, 2, \ldots, k\)）（即选取相同行列）时，称为 \(A\) 的 \(k\) 阶主子式。若 \(i_t = j_t = t\)（\(t = 1, 2, \ldots, k\)），称为 \(A\) 的 \(k\) 阶顺序主子式（取前 \(k\) 行 \(k\) 列的左上角主子式）.

定义：行列式秩

矩阵 \(A\) 的非零子式的最高阶数 \(r\) 称为 \(A\) 的行列式秩.

定理

矩阵 \(A\) 的秩 \(r(A) = r \Leftrightarrow A\) 的行列式秩为 \(r\).

定义

矩阵 \(A\) 的非零子式的最高阶数 \(r\) 称为矩阵 \(A\) 的秩，记为 \(r(A)\).