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07 相抵标准形

相抵描述的是同一个线性映射在不同基下的矩阵的关系，研究的是线性映射本身. 目标是找到所有描述同一个线性映射的矩阵中最简单的一个（相抵标准形），并用这个最简单的代表元把所有线性映射分类，发现线性映射由“秩”这个根本的不变量决定.

矩阵的秩

定义：矩阵的三个秩

设 \(A\) 是线性映射 \(\sigma\) 对应的矩阵，定义矩阵 \(A\) 的秩为 \(r(A) = r(\sigma)\). 此外，将矩阵 \(A\) 的所有行向量组成的秩称为 \(A\) 的行秩，常记为 \(r_r\)；所有列向量组成的向量组的秩称为 \(A\) 的列秩，常记为 \(r_c\).

定理

任意矩阵 \(A = (a_{ij} )_{m\times n}\) 的秩 = 行秩 = 列秩.

定理：几个等价条件

设 \(A \in M_n(F)\)，则下列命题等价：

  1. \(A\) 可逆；
  2. \(r(A) = n\)；
  3. \(A\) 的 \(n\) 个行（列）向量线性无关；
  4. 齐次线性方程组 \(AX = 0\) 只有零解.
  5. (\(|A| \neq 0\))

过度矩阵和基变换

过渡矩阵的作用是转换坐标，做的事情是用旧的基来描述新的基. 过渡矩阵 \(C\) 的第 \(j\) 列，是新基向量在旧基下的坐标. 过渡矩阵也可以看作是从新基到旧基的恒等变换的矩阵表示.

定义：变换矩阵（过渡矩阵）

设 \(B_1 = \{\alpha_1, \alpha_2, \dots , \alpha_n\}\) 与 \(B_2 = \{\beta_1, \beta_2, \dots , \beta_n\}\) 是线性空间 \(V (F)\) 的任意两组基.若存在矩阵 \(A\) 使得 \(B_2 = B_1A\)，则称矩阵 \(A\) 为 \(B_1\) 变为基 \(B_2\) 的变换矩阵（或过渡矩阵）.

注：

  1. 过渡矩阵一定是基与基之间的表示矩阵，一般的向量组之间不称过渡矩阵.
  2. 两组基（更一般地，两个相同长度的线性无关向量组）之间的过渡矩阵可逆.
定理

设 \(S_1 = \{\alpha_1, \alpha_2, \dots , \alpha_n\}\) 是线性无关的向量组，且

\[ (\beta_1, \beta_2, \dots , \beta_s) = (\alpha_1, \alpha_2, \dots , \alpha_n)A \]

则向量组 \(S_2 = \{\beta_1, \beta_2, \dots , \beta_s\}\) 的秩等于矩阵 \(A\) 的秩.

定理

若线性空间 \(V\) 中的两个向量组 \(S_1\) 和 \(S_2\) 满足 \(S_2 = S_1A\)，其中 \(A\) 可逆，则 \(S_1\) 与 \(S_2\) 是等价向量组. (即两个向量组可以互相被对方线性表示).

同一个向量在不同基下坐标之间的关系
定理：基的选择对向量坐标的影响

设线性空间 \(V\) 的两组基为 \(B_1\) 和 \(B_2\)，且基 \(B_1\) 到 \(B_2\) 的变换矩阵（过渡矩阵）为 \(A\)，如果 \(\xi \in V (F)\) 在 \(B_1\) 和 \(B_2\) 下的坐标分别为 \(X\) 和 \(Y\) ，则 \(Y = A^{−1}X\) \((X = AY)\).

同一个线性映射在不同基下的矩阵表示
换基公式

设 \(\sigma \in \mathcal{L}(V_1, V_2)\)，\(B_1, B'_1\) 是 \(V_1\) 的两组基，\(B_2, B'_2\) 是 \(V_2\) 的两组基. 设 \(P\) 是 \(B_1\) 变为 \(B'_1\) 的过渡矩阵，\(Q\) 是 \(B_2\) 变为 \(B'_2\) 的过渡矩阵，则 \(M_{B'_1 ,B'_2 (\sigma)} = Q^{−1}M_{B_1,B_2}(\sigma)P.\)

定理：基的选择对变换矩阵的影响

设线性变换 \(\sigma \in \mathcal{L}(V, V )\)，\(B_1 = \{\alpha_1, \dots , \alpha_n\}\) 和 \(B_2 = \{\beta_1, \dots , \beta_n\}\) 是线性空间 \(V (F)\) 的两组基，基 \(B_1\) 变为基 \(B_2\) 的过渡矩阵为 \(C\). 如果 \(\sigma\) 在基 \(B_1\) 下的矩阵为 \(A\)，则 \(\sigma\) 关于基 \(B_2\) 所对应的矩阵为 \(C^ {−1}AC\).

相抵标准形

定理

设 \(A\) 是 \(m \times n\) 矩阵，则 \(r(A) = r\) 的充要条件为存在可逆矩阵 \(P\) 和 \(Q\)，使得

\[ PAQ = \begin{pmatrix} E_r & O \\ O & O \end{pmatrix} = U_r \]

其中 \(E_r\) 表示 \(r\) 阶单位矩阵.

定义：相抵与相抵标准形

设 \(A\) 和 \(B\) 是 \(m \times n\) 矩阵，如果存在可逆矩阵 \(P\) 和 \(Q\)，使得 \(PAQ = B\)，则称 \(A\) 和 \(B\) 是相抵的. 称 \(PAQ = U_r\) 中的 \(U_r\) 为矩阵 \(A\) 的相抵标准形，其中 \(Er\) 表示 \(r\) 阶单位矩阵，\(r = r(A)\).

初等矩阵

定义：初等矩阵

将单位矩阵 \(E\) 做一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵，与三种初等行、列变换对应的三类初等矩阵为：

  1. 将单位矩阵第 \(i\) 行（或列）乘 \(c\)，得到初等倍乘矩阵 \(E_i(c)\)；
  2. 将单位矩阵第 \(i\) 行乘 \(c\) 加到第 \(j\) 行，或将第 \(j\) 列乘 \(c\) 加到第 \(i\) 列，得到初等倍加矩阵 \(E_{ij} (c)\)；
  3. 将单位矩阵第 \(i, j\) 行（或列）对换，得到初等对换矩阵 \(E_{ij}\).

对矩阵左乘一个初等矩阵时，相当于对矩阵做了对应的初等行变换；右乘一个初等矩阵时，相当于对矩阵做了对应的初等列变换.

注：

  1. 三种初等矩阵都是可逆的，且 \(E^{-1}_i (c) = E_i(1/c)\)，\(E^{-1}_{ij} (c) = E_{ij} (−c)\)，\(E_{ij} ^{−1} = E_{ij}\) .
  2. 三种初等矩阵的转置：\(E_i^ T(c) = E_i(c)\)，\(E_{ij}^ T(c) = E_{ji}(c)\)，\(E_{ij}^ T = E_{ij}\)，因此初等矩阵转置前后分别对应于同样的行列变换操作.

初等矩阵的可逆性结合可逆矩阵的乘积性质表明，任何可逆矩阵乘以初等矩阵后仍然是可逆矩阵.

定理

任意可逆矩阵都可以被表示为若干个初等矩阵的乘积.

逆矩阵的求解
初等变换法

设 \(A\) 为 \(n\) 阶可逆矩阵，如果对 \(A\) 和 \(n\) 阶单位矩阵 \(E\) 做相同的初等行变换，即\(P_1, P_2, \dots , P_k\) 后 \(A\) 变为 \(E\) 时，\(E\) 变为 \(A^{−1}\) .

\[ \left( A \middle| E \right) \xrightarrow{\text{初等行变换}} \left( E \middle| A^{-1} \right) \]

初等列变换同理：

\[ \left( \begin{array}{c} A \\ \hline E \end{array} \right) \xrightarrow{\text{初等列变换}} \left( \begin{array}{c} E \\ \hline A^{-1} \end{array} \right) \]

初等矩阵与相抵标准形

定理

初等变换不改变矩阵的秩（包括行变换和列变换）.

定义

我们称两个矩阵相抵当且仅当两个矩阵可以通过一系列初等变换互相转化.

易得：

  1. 矩阵 \(A\) 与 \(B\) 相抵的等价条件为 \(r(A) = r(B).\)
  2. 相抵是等价关系