导数表与求导方法

常用导数表

1. 代数与幂函数

函数 \(f(x)\)	导数 \(f'(x)\)	备注
\(C\) (常数)	\(0\)
\(x^\mu\)	\(\mu x^{\mu-1}\)	\(\mu\) 为实数
\(\sqrt{x}\)	\(\frac{1}{2\sqrt{x}}\)	幂函数特例
\(\frac{1}{x}\)	\(-\frac{1}{x^2}\)	幂函数特例

2. 指数与对数函数

函数 \(f(x)\)	导数 \(f'(x)\)	备注
\(e^x\)	\(e^x\)
\(a^x\)	\(a^x \ln a\)	\(a>0, a \neq 1\)
\(\ln x\)	\(\frac{1}{x}\)	\(x \neq 0\)
\(\log_a x\)	\(\frac{1}{x \ln a} = \frac{1}{x} \log_a e\)	\(a>0, a \neq 1, x \neq 0\)

3. 三角函数

函数 \(f(x)\)	导数 \(f'(x)\)	备注
\(\sin x\)	\(\cos x\)
\(\cos x\)	\(-\sin x\)
\(\tan x\)	\(\sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}\)	\(x \neq k\pi + \frac{\pi}{2}\)
\(\cot x\)	\(-\csc^2 x = -\frac{1}{\sin^2 x}\)	\(x \neq k\pi\)
\(\sec x\)	\(\sec x \tan x\)
\(\csc x\)	\(-\csc x \cot x\)

4. 反三角函数

函数 \(f(x)\)	导数 \(f'(x)\)	备注
\(\arcsin x\)	\(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)	\(x<1\)
\(\arccos x\)	\(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)	\(x<1\)
\(\arctan x\)	\(\frac{1}{1+x^2}\)
\(\text{arccot } x\)	\(-\frac{1}{1+x^2}\)

5. 特殊对数形式（积分常用逆推）

函数 \(f(x)\)	导数 \(f'(x)\)	备注
\(\ln(x + \sqrt{x^2 + a^2})\)	\(\frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}}\)	常用于含有 \(\sqrt{x^2+a^2}\) 的积分
\(\ln(x + \sqrt{x^2 - a^2})\)	\(\frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}}\)	\(\|x\|>\|a\|\)
\(\frac{1}{2a} \ln\frac{a+x}{a-x}\)	\(\frac{1}{a^2 - x^2}\)

隐函数求导 直接对隐函数所满足的方程两边求导（隐函数通常要同时表明自变量和函数值的变换范围）

例 求由以下条件确定的隐函数 \(y = y(x)\) 的导数：

\[ x^2 + y^2 = 1, \quad -1 < x < 1, \, y > 0. \]

解：以 \(y = y(x)\) 代入方程 \(x^2 + y^2 = 1\) 应该得到一个恒等式。对这恒等式两边求导得

\[ 2x + 2yy' = 0 \]

\[ y' = -\frac{x}{y}. \]

用显式表示来验算，我们得到

\[ y' = (\sqrt{1-x^2})' = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}(1-x^2)' = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} = -\frac{x}{y}. \]

对数求导法 为了求幂-指数式 \(y = u(x)^{v(x)}\)（\(u(x) > 0\)）的导数，将其两边取对数而得到

\[ \ln y = v(x) \ln u(x). \]

按照隐函数求导的办法，对上述两边求导得

\[ \frac{y'}{y} = v'(x) \ln u(x) + v(x) \frac{u'(x)}{u(x)}. \]

由此得到

\[ y' = y \left( v'(x) \ln u(x) + v(x) \frac{u'(x)}{u(x)} \right). \]