历年卷梳理
本页梳理20-21（部分），21-22，22-23，23-24，24-25 共五份数学分析I（H）的回忆卷中涉及的知识点和方法/技巧，\(\times n\) 代表考察次数。
一、 极限、导数与微分运算
- 求不定式极限（洛必达法则） \(\times 5\)
- \(1^\infty\) 型；\(\frac{0}{0}\) 型；\(\frac{\infty}{\infty}\) 型；\(\infty - \infty\) 型；
- 常用等价无穷小代换 \(\times 4\)
- \(\sin x \sim x\)；\(1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2\)；\((1 + u)^\alpha - 1 \sim \alpha u\)
- 进阶：\((1 + u)^\alpha = 1 + \alpha u + \frac{\alpha(\alpha - 1)}{2}u^2 + o(u^2)\)
- 常用泰勒公式 \(\times 3\)
- 函数极限的性质 \(\times 2\)
- 局部有界性
- 局部保号性
- 导函数介值定理（达布定理） \(\times 2\)
- 利用定义计算某点导数值 \(\times 2\)
- 隐函数求导法： 对恒等式两边同时求导获取高阶导数信息（由微分方程求更高阶导数） \(\times 2\)
- 极值的三大充分条件： 极值和拐点的第三充分条件 -- 第一个不为 0 的导数是奇数阶则为拐点，是偶数阶则为极值
- 两个常用极限及其衍生
- 计算函数过定点的切线
- 极值点判定证明： 证明某点非极值点
二、 积分学：运算、性质与应用
- 变上限积分（微积分学基本定理） \(\times 5\)
- 求导：检查复合函数求导，是否遗漏内层函数的导数!!!
- 导数的变量是积分上限，不是积分变量
- 求不定积分/定积分 \(\times 5\)
- 换元积分法和分部积分法
- 直接观察，凑微分（多项式）
- 不定积分不要忘记加常数 \(C\)
- 定积分的定义（黎曼和） \(\times 4\)
- 利用定积分定义求数列极限（积分本质是黎曼和的极限），如：\(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{\cos(k/n)}{1 + \sin(k/n)}\)
- 许多情况下提取 \(\frac{1}{n}\) 为步长，\(\frac{k}{n}\) 为分割每个小区间的取值
- 定积分的几何应用 \(\times 4\)
- 计算曲线弧长 \(\times 2\)
- 求旋转体的体积
- 计算平面图形的面积
- 无穷积分（反常积分）计算 \(\times 2\)
- 积分运算： 线性性质 \(\times 2\)
- 无穷积分收敛性的判别法： 狄利克雷判别法；比较判别法
- 有理函数的积分
- 三角函数有关定积分： 通过分部积分等方法得到关于自身的方程/递推式
- 牛顿莱布尼茨公式使用时注意符号： 原函数在积分下限处的值为负时负负得正
三、 实数系基础、连续性与中值定理
- 确界原理的规范表述 \(\times 3\)
- 设 \(S\) 为非空数集。若 \(S\) 有上界，则 \(S\) 必有上确界；若 \(S\) 有下界，则 \(S\) 必有下确界。
- 一致连续性 \(\times 3\)
- \(\epsilon - \delta\) 定义：设 \(f\) 为定义在区间 \(I\) 上的函数. 若对任给的 \(\epsilon > 0\)，存在 \(\delta = \delta(\epsilon) > 0\)，使得对任何 \(x', x'' \in I\)，只要 \(|x' - x''| < \delta\)，就有 \(|f(x') - f(x'')| < \epsilon\)，则称函数 \(f\) 在区间 \(I\) 上一致连续。
- 性质 -- 闭区间上连续函数必一致连续（Cantor定理）
- 若函数 \(f(x)\) 在有限个一致连续子区间的并集 \(I\) 上连续，且 \(I\) 本身是一个区间，则 \(f(x)\) 在 \(I\) 上一致连续。
- 柯西收敛准则及其应用（证明数列/函数收敛） \(\times 3\)
- 数列 \(\{a_n\}\) 收敛的充分必要条件是：对于任意给定的 \(\epsilon > 0\)，总存在正整数 \(N\)，使得当 \(n > N\) 且对于任何正整数 \(p\) 时，恒有：\(|a_{n+p} - a_n| < \epsilon\)（或者等价地表述为：当 \(m, n > N\) 时，恒有 \(|a_m - a_n| < \epsilon\)）
- 拉格朗日中值定理 \(\times 3\)
- 单调有界定理（单调有界必有极限）的证明（确界原理） \(\times 2\)
- 最值定理： 连续函数在闭区间上必有最大值和最小值 \(\times 2\)
- 单调性与最值/极值判别 \(\times 2\)
- 函数连续性： 分段函数连续性；导函数连续性：先用定义求点导数，再用解析式求邻域导函数，求邻域导函数在该点的极限
- 实数完备性的七大等价定理： 确界原理、单调有界原理、区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理、柯西收敛准则、戴德金分割定理
- 闭区间套定理： 若 \(\{[a_n, b_n]\}\) 是一个闭区间套（包含关系+长度趋于 0），则在实数系中存在唯一的一点 \(\xi\)，使得 \(\xi \in [a_n, b_n], n = 1, 2, \dots\), 即 \(a_n \le \xi \le b_n, n = 1, 2, \dots\)。
- 间断点的分类
- 函数凹凸性： 二阶导数符号、Jensen不等式、各等价叙述
四、 核心思想与证明技巧
- 化动为静： 用具体的常数替代动态的极限过程转化为具体的不等式，方便进行代数放缩 \(\times 5\)
- 分段处理（分治）： 解决非紧区间（如 \([0, +\infty)\)，非闭/非有界）问题常用，把区间分为“有限的部分”（用闭区间的性质）和“无穷远的部分”（用极限性质） \(\times 3\)
- 证明等式： “两边夹”：\(\le\) 且 \(\ge\)；将一边的式子变换得到另一边的式子；构造辅助函数（移项），证明存在零点 \(\times 3\)
- 裂项（化简求和/拆分积分分式）： 求和项分母为二次时常用 \(\times 3\)
- 分部积分法进阶： 通过分部积分把分母的幂次从 \(1/x^2\) 降低到 \(1/x\)（降幂）；通过（多步）分部积分，把积分号内 \(x^n\) 的幂次转化为分母上的 \(n\) \(\times 2\)
- 数列有界性的应用： 把复杂未知项 \(b_i\) 转化为常数 \(M\)（处理不等式放缩） \(\times 2\)
- 确界的两个性质： 性质1（屏障性）：\(\forall x, f(x) \ge A\)（保证了极限的下限）；性质2（逼近性）：\(\exists x_0, f(x_0) < A + \epsilon\)（提供了找 \(\delta\) 的突破口） \(\times 2\)
- 放缩技巧： “以直代曲”的线性放缩（拉格朗日中值定理）；三角不等式放缩（连接两个函数的“桥梁”） \(\times 2\)
- 定积分计算技巧： 区间再现法（左右翻转函数在同一区间定积分不变）；利用函数奇偶性简化积分计算 \(\times 2\)
- 数列收敛阶分析（Stolz-倒数变换法）：
- 设幂次：假设 \(x_n \sim n^{-\alpha}\)，即研究 \(n x_n^k \to\) 常数
- 写分式：构造 \(\frac{n}{1/x_n^k}\)
- 用 Stolz：转化为研究 \(\frac{1}{\frac{1}{x_{n+1}^k} - \frac{1}{x_n^k}}\)
- 代入递归式、泰勒展开、待定系数。
- 规律： 若 \(x_{n+1} = x_n - Ax_n^m + o(x_n^m)\)，则 \(x_n \sim (\frac{1}{A(m-1)n})^{\frac{1}{m-1}}\)
- 泰勒展开的次数原则： 上下齐平（分子分母阶数对齐）、减而不尽（运算后保留第一个非零项）
- 渐近分析与无穷小阶： 处理 \(\frac{1}{n+1} \sim \frac{1}{n}\) 和 \(\frac{1}{(n+1)(n+2)} \sim \frac{1}{n^2}\) 之间的转换
- Jensen 不等式应用： 遇到 \(\int f(g(x))dx\) 形式的不等式证明，计算 \(g(x)\) 平均值 \(\bar{g}\)，在 \(\bar{g}\) 处展开泰勒公式，利用积零项（一阶项积分为 0）和二阶导符号判定
- 变上限积分处理： 含参量积分求最值，通过拆分项/换元等方法，让被积函数中的 \(x\) 移到积分号外或上限中
- 等价无穷小优先： 在极限计算中，先观察是否能进行等价无穷小替换，能极大简化洛必达计算量
- 反例构造： 运用对称函数（如三角函数）的积分性质
- 符号化思维： 记 \(M, m\) 等符号减少书写负担，使逻辑更清晰
- 介值性（介值定理）： 可用于强制函数在某区间内符号一致，通过“找零点”或“排除零点”切入问题
- 导数与函数局部形态： 对泰勒展开的直观理解