09 定积分的进一步讨论

定积分存在的一般条件

必要条件：有界性

如果函数 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上可积，那么 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上必定有界.

充要条件（达布准则）

定理： 设 \(f(x)\) 是定义在 \([a, b]\) 上的有界函数，则 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上可积的充要条件是： 对于任意给定的 \(\epsilon > 0\)，总存在 \([a, b]\) 的一个分割 \(P\)，使得该分割下的上和 \(U(P, f)\) 与下和 \(L(P, f)\) 之差小于 \(\epsilon\)：

\[U(P, f) - L(P, f) < \epsilon\]

该准则也可以用振幅来表达：

\[\sum_{i=1}^{n} \omega_i \Delta x_i < \epsilon\]

其中 \(\omega_i\) 是函数 \(f(x)\) 在第 \(i\) 个小区间上的振幅（最大值与最小值之差）.

判别准则：勒贝格（Lebesgue）定理

有界函数 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上黎曼可积的充要条件是：\(f(x)\) 的不连续点集是一个零测集（总长度为0）.

...略.

可积函数类

该函数类对于相加、相乘、取绝对值等运算是封闭的；任何连续的函数或者单调的函数都属于可积函数类.

定理 设函数 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 在 \([a,b]\) 上可积，\(\lambda\) 是常数，则

1. \(f(x) \pm g(x)\) 在 \([a,b]\) 上可积；
2. \(\lambda f(x)\) 在 \([a,b]\) 上可积；
3. \(|f(x)|\) 在 \([a,b]\) 上可积；
4. \(f(x)g(x)\) 在 \([a,b]\) 上可积；
5. 如果存在常数 \(d>0\)，使得 \(|f(x)| \geq d,\forall x \in [a,b],\) 那么函数 \(\frac{1}{f(x)}\) 也在 \([a,b]\) 可积.

注：3 的逆命题不成立，如狄利克雷函数在 \([0,1]\) 不可积.

定理：闭区间内可积，则闭子区间内可积

设 \([a,b]\) 是 \([\tilde{a},\tilde{b}]\) 的任意闭子区间。如果函数 \(f\) 在 \([\tilde{a},\tilde{b}]\) 可积，那么 \(f\) 也在 \([a,b]\) 可积.

定理：单调函数可积

设函数 \(f\) 在闭区间 \([a,b]\) 上有定义并且单调，则 \(f\) 在 \([a,b]\) 上可积.

定理：连续函数可积

设函数 \(f\) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续，则 \(f\) 在 \([a,b]\) 上可积.

定理：有界且有有限个间断点的函数可积

设函数 \(f\) 在 \([a,b]\) 上有界，并且除去有限个间断点外，在其他各点连续。则 \(f\) 在 \([a,b]\) 上可积.

定理 函数 \(g\) 与函数 \(f\) 都在闭区间 \([a,b]\) 上有定义；并设除去在有限个点 \(c_1, \cdots, c_l\) 而外，\(g\) 与 \(f\) 的函数值都相等，即

\[ g(x) = f(x), \quad \forall x \in [a,b] \setminus \{c_1, \cdots, c_l\}. \]

如果 \(f\) 在 \([a,b]\) 上可积，那么 \(g\) 也在 \([a,b]\) 上可积，并且

\[ \int_a^b g(x)dx = \int_a^b f(x)dx. \]

微积分学基本定理

变限积分与原函数的存在性

引理 设函数 \(f\) 在 \([a, b]\) 上可积，并设

\[ |f(x)| \leq K, \quad \forall x \in [a, b], \]

则

\[ \left| \int_{a}^{b} f(x) dx \right| \leq \int_{a}^{b}|f(x)|dx \leq K (b-a). \quad(a<b) \]

定义：变限积分

设 \(f\) 在 \([a,b]\) 上可积，根据定积分的性质，对任何 \(x \in [a,b]\)，\(f\) 在 \([a,x]\) 上也可积。于是，由

\[ \Phi(x) = \int_a^x f(t) \, dt, \quad x \in [a,b] \]

定义了一个以积分上限 \(x\) 为自变量的函数，称为 变上限的定积分。类似地，又可定义 变下限的定积分：

\[ \Psi(x) = \int_x^b f(t) \, dt, \quad x \in [a,b]. \]

\(\Phi\) 与 \(\Psi\) 统称为 变限积分.

注：在变限积分定义式中，不可再把积分变量写成 \(x\)（例如 \(\int_a^x f(x) \, dx\)），以免与积分上下限的 \(x\) 相混淆.

由于

\[ \int_{x}^{b} f(t) dt = - \int_{b}^{x} f(t) dt, \]

只需讨论变上限积分的情形.

定理 若 \(f\) 在 \([a,b]\) 上可积，则函数 \(\Phi\) 在 \([a,b]\) 上连续.

定理：原函数存在定理（微积分学基本定理）

若 \(f\) 在 \([a,b]\) 上连续，函数 \(\Phi\) 在 \([a,b]\) 上处处可导,且

\[ \Phi'(x) = \frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) dt = f(x), x \in [a,b]. \]

本定理沟通了导数和定积分这两个从表面看去似不相干的概念之间的内在联系；同时也证明了“连续函数必有原函数”这一基本结论，并以积分形式给出了 \(f\) 的一个原函数（即它的变上限定积分）. 被誉为微积分学基本定理.

牛顿-莱布尼茨公式再讨论

因 \(f\) 的任意两个原函数只能相差一个常数，所以当 \(f\) 为连续函数时,它的任一原函数 \(F\) 必满足

\[ F(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt + C. \]

若在此式中令 \(x = a\),得到 \(C = F(a)\),从而有

\[ \int_{a}^{x} f(t) dt = F(x) - F(a). \]

再令 \(x = b\),即得

\[ \int_{a}^{b} f(t) dt = F(b) - F(a). \]

这是牛顿-莱布尼茨公式的又一证明.

积分中值定理再讨论

定理：积分第一中值定理一般形式（推广的积分第一中值定理）

设函数 \(f\) 和 \(g\) 在 \([a,b]\) 上可积，并且满足以下条件

\[ m \leq f(x) \leq M, \quad g(x) \geq 0, \quad \forall x \in [a,b], \]

则有

\[ m \int_a^b g(x) dx \leq \int_a^b f(x) g(x) dx \leq M \int_a^b g(x) dx. \]

特别地，如果 \(f\) 在 \([a,b]\) 上连续，\(g\) 在 \([a,b]\) 上可积并且 \(g(x) \geq 0, \quad \forall x \in [a,b]\)，那么

\[ \int_a^b f(x) g(x) dx = f(c) \int_a^b g(x) dx, \]

其中 \(c\) 是 \([a,b]\) 中适当的点.

定理：第二中值定理的一种情形

设函数 \(f\) 在 \([a,b]\) 上单调下降并且非负，函数 \(g\) 在 \([a,b]\) 上可积，则存在 \(c \in [a,b]\)，使得

\[ \int_{a}^{b} f(x)g(x)dx = f(a) \int_{a}^{c} g(x)dx. \]

定理：第二中值定理的另一种情形

设函数 \(f\) 在 \([a,b]\) 上单调上升并且非负，函数 \(g\) 在 \([a,b]\) 上可积，则存在 \(c \in [a,b]\)，使得

\[ \int_{a}^{b} f(x)g(x)dx = f(b)\int_{c}^{b} g(x)dx. \]

定理：第二中值定理的一般情形

设函数 \(f\) 在 \([a,b]\) 上单调，函数 \(g\) 在 \([a,b]\) 上可积，则存在 \(c \in [a,b]\)，使得

\[ \int_{a}^{b} f(x)g(x)dx = f(a)\int_{a}^{c} g(x)dx + f(b)\int_{c}^{b} g(x)dx. \]

注：

1. 第二中值定理的几何意义类比第一中值定理是显然的.
2. 两种情形的一项式（博内形式）必须有非负条件，一般情形的两项式（魏尔斯特拉斯形式）则不必须.