08 利用导数研究函数

柯西中值定理和不定式极限

柯西中值定理

由拉格朗日中值定理，在显式表示的可微曲线段上，至少存在一点，该点切线平行于联结该曲线段两端的弦. 将该结论推广到参数表示的可微曲线段上，即为柯西中值定理.

定理：柯西中值定理 设函数 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，在 \((a,b)\) 上可导，并且满足条件 \(f'(x)\) 和 \(g'(x)\) 不同时为零；\(g(a) \neq g(b)\)，则存在 \(\xi \in (a,b)\) 使得

\[ \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}. \]

不定式（未定式）

若

\[ \lim_{x \to a} f(x) = A, \quad \lim_{x \to a} g(x) = B, \quad a, A, B \in \mathbb{R}\cup\infty, \]

有

\(\lim\limits_{x \to a} (f(x) + g(x)) = A + B;\)
\(\lim\limits_{x \to a} (f(x) - g(x)) = A - B;\)
\(\lim\limits_{x \to a} (f(x)g(x)) = AB;\)
\(\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B};\)
\(\lim\limits_{x \to a} (f(x))^{g(x)} = \lim\limits_{x \to a} e^{g(x)\ln f(x)} = e^{B\ln A} = A^B.\)

对于以上各条，所说的例外情形分别是：

在 1 中 \(A\) 与 \(B\) 为异号无穷大；
在 2 中 \(A\) 与 \(B\) 为同号无穷大；
在 3 中 \(A\) 与 \(B\) 之一为 0，另一为无穷大；
在 4 中 \(A\) 与 \(B\) 同时为 0 或者 \(A\) 与 \(B\) 同时为无穷大；
在 5 中 \(A = 1, B = \infty\)，或者 \(A = 0, B = 0\)，或者 \(A = \infty, B = 0.\)

这些例外情形所涉及的极限类型统称为未定型.

未定型的极限式被称为未定式（不定式），运算法则 1~5 对不定式失去效用. 在一定的条件下，洛必达法则提供了确定未定型极限的有效办法，称为未定式的定值法.

洛必达法则（求 \(\frac{0}{0}\) 型和 \(\frac{\infty}{\infty}\) 型不定式定值法）

定理：求 \(\frac{0}{0}\) 型不定式极限

设 \(a \in \mathbb{R}\) 或 \(a = \infty\)，\(l \in \mathbb{R}\) 或 \(l = \infty\)。如果函数 \(f\) 和 \(g\) 在 \(a\) 点的去心邻域 \(U^{\circ}(a)\) 上可导，\(g'(x) \neq 0\)，\(\forall x \in U^{\circ}(a)\)，并且满足：

\(\lim\limits_{x \to a} f(x) = \lim\limits_{x \to a} g(x) = 0\)；
\(\lim\limits_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = l\)，

则有

\[ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = l. \]

定理：求 \(\frac{*}{\infty}\) 型不定式极限

设 \(a \in \mathbb{R}\) 或 \(a = \infty\)，\(l \in \mathbb{R}\) 或 \(l = \infty\)。如果函数 \(f\) 和 \(g\) 在 \(a\) 点的去心邻域 \(U^{\circ}(a)\) 上可导，\(g'(x) \neq 0\)，\(\forall x \in U^{\circ}(a)\)，并且满足：

\(\lim\limits_{x \to a} g(x) = \infty\)；
\(\lim\limits_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = l\)，

则有

\[ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = l. \]

注：

为了求某些不定式的极限，有时需要接连几次运用洛必达法则.
如果导数的比值有极限，那么原函数的比值也有相同的极限. 但是，如果导数的比值没有极限，并不代表原极限不存在！ 此时说明洛必达法则失效，需改用夹逼定理或定义法.
洛必达法则通常不单独使用，而是和等价无穷小代换、泰勒公式结合使用.
求数列极限也可先利用洛必达法则求对应函数的极限，再利用归结原则得到数列极限.

其它类型不定式的定值法

其它类型的不定式，一般都能转化为 \(\frac{0}{0}\) 型未定式或 \(\frac{\infty}{\infty}\) 型未定式，因而在一定的条件下也能利用洛必达法则来定值.

\(0 \cdot \infty\) 型不定式 设 \(\lim\limits_{x \to a} f(x) = 0\)，\(\lim\limits_{x \to a} g(x) = \infty\)，则极限式 \(\lim\limits_{x \to a} f(x)g(x)\) 是 \(0 \cdot \infty\) 型未定式. 我们可以把它写成

\[ \lim_{x \to a} f(x)g(x) = \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{\frac{1}{g(x)}}, \]

这就化成了 \(\frac{0}{0}\) 型未定式.

\(\infty - \infty\) 型未定式 设 \(\lim\limits_{x \to a} f(x)\) 与 \(\lim\limits_{x \to a} g(x)\) 是同号的无穷大，则极限式 \(\lim\limits_{x \to a} (f(x) - g(x))\) 是 \(\infty - \infty\) 型未定式。我们可以把它写成

\[ \lim_{x \to a} \left( \frac{1}{\frac{1}{f(x)}} - \frac{1}{\frac{1}{g(x)}} \right) = \lim_{x \to a} \frac{\frac{1}{g(x)} - \frac{1}{f(x)}}{\frac{1}{f(x)g(x)}}, \]

这也化成了 \(\frac{0}{0}\) 型未定式.

\(1^\infty\)，\(0^0\) 和 \(\infty^0\) 型未定式 设 \(\lim\limits_{x \to a} f(x) = 1\)，\(\lim\limits_{x \to a} g(x) = \infty\)，则极限式 \(\lim\limits_{x \to a} [f(x)]^{g(x)}\) 是 \(1^\infty\) 型未定式。我们可以把它写成

\[ \lim_{x \to a} e^{g(x) \ln f(x)} = e^{\lim\limits_{x \to a} g(x) \ln f(x)} \]

于是，问题归结为求 \(0 \cdot \infty\) 型未定式的极限：

\[ \lim_{x \to a} g(x) \ln f(x). \]

对于 \(0^0\) 和 \(\infty^0\) 型未定式，也可做类似的讨论.

注：为了把其他形式的未定式转化成 \(\frac{0}{0}\) 或 \(\frac{\infty}{\infty}\) 型未定式，需要根据实际情况灵活地进行变换。如果死套上面所说的一般程序，有时会十分烦琐.

泰勒公式

带 \(o\) 余项的泰勒公式

带 \(o\) 余项的泰勒公式是无穷小增量公式的推广. 泰勒多项式部分模拟函数在某一点处的情况，\(o\) 余项用来表示误差的等级.

引理设函数 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 在 \(U(a, \eta)\) 有定义，在 \(a\) 点有 \(n\) 阶导数. 如果

\[ f^{(k)}(a) = g^{(k)}(a), \quad k = 0, 1, \cdots, n, \]

那么

\[ f(x) = g(x) + o((x - a)^n). \]

**定理：带 \(o\) 余项的泰勒公式 ** 设函数 \(f\) 在 \(U(a, \eta)\) 有定义，在 \(a\) 点有 \(n\) 阶导数，那么

\[ f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n + o((x - a)^n). \]

这定理中的表示式称为带小 \(o\) 余项的泰勒公式，又称带皮亚诺（Peano）余项的泰勒公式. 特别地，当 \(a = 0\) 时，我们称相应的表示式为带小 \(o\) 余项的麦克劳林（Maclaurin）公式或者带皮亚诺余项的麦克劳林公式，简称麦克劳林公式.

定理：由导函数的麦克劳林公式确定原函数的麦克劳林公式

设函数 \(f(x)\) 在 \(U(0, \eta)\) 有定义，在0点\(n\)次可导，如果

\[ f'(x) = A_0' + A_1' x + \cdots + A_{n-1}' x^{n-1} + o(x^{n-1}) \]

\[ (A_0', A_1', \cdots, A_{n-1}' \in \mathbb{R}), \]

那么

\[ f(x) = f(0) + A_0' x + \frac{A_1'}{2} x^2 + \cdots + \frac{A_{n-1}'}{n} x^n + o(x^n). \]

极值的第三充分条件

[[05 导数和微分#函数的升降与极值 | 极值的第一和第二充分条件]]

引理设 \(A \neq 0\),并且

\[ \varphi(h) = Ah^n + o(h^n), \]

则对充分小的 \(h\), \(\varphi(h)\) 与 \(Ah^n\) 同号.

定理：极值的第三充分条件

设函数 \(f\) 在 \(U(x_0, \eta)\) 有定义，在 \(x_0\) 点 \(n\) 次可导,并且

\[ f'(x_0) = \cdots = f^{(n-1)}(x_0) = 0, \quad f^{(n)}(x_0) \neq 0, \]

则有

如果 \(n\) 是偶数,那么函数 \(f\) 在 \(x_0\) 点取得严格极值——当 \(f^{(n)}(x_0) > 0\) 时 \(f\) 在 \(x_0\) 点取得严格极小值,当 \(f^{(n)}(x_0) < 0\) 时 \(f\) 在 \(x_0\) 点取得严格极大值;
如果 \(n\) 是奇数,那么 \(x_0\) 不是函数 \(f\) 的极值点.

有限增量的泰勒公式

带 \(o\) 余项的泰勒公式只适宜于讨论当 \(x\) 趋近于 \(a\) 时函数的渐近状况，为研究函数在较大范围内的性质，需要引入有限增量的泰勒公式.

带拉格朗日余项的泰勒公式

引理设函数 \(\varphi(x)\) 在区间 \(I\) 有直到 \(n\) 阶的连续导数，在 \(I^0\) 有 \(n+1\) 阶导数，\(a, x \in I\). 如果

\[ \varphi(a) = \varphi'(a) = \cdots = \varphi^{(n)}(a) = 0, \]

那么存在介于 \(a\) 和 \(x\) 之间的实数 \(\xi\)，使得

\[ \varphi(x) = \frac{\varphi^{(n+1)}(\xi) \cdot (x - a)^{n+1}}{(n + 1)!}. \]

注：对照 \(o\) 余项的引理，从讨论某点到讨论某区间. （证明使用柯西中值定理+洛必达法则）.

定理：带拉格朗日余项的泰勒公式

设函数 \(f\) 在区间 \(I\) 上有直到 \(n\) 阶的连续导数，在 \(I^0\) 有 \(n+1\) 阶导数，\(a, x \in I\)，则

\[ f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!} (x-a) + \frac{f''(a)}{2!} (x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n + \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x-a)^{n+1}. \]

换句话说就是：泰勒公式的余项 \(R_n(x)\) 可以表示成

\[ R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x-a)^{n+1}, \]

上式称为拉格朗日型余项.

注：与拉格朗日中值定理那里的讨论类似，如果令 \(\theta = \frac{\xi - a}{x - a}\) 那么 \(\xi = a + \theta (x - a), \quad 0 < \theta < 1.\) 于是拉格朗日型余项可以写成

\[ R_n(x) = \frac{f^{(n+1)} (a + \theta (x - a))}{(n+1)!} (x - a)^{n+1}. \]

带积分余项的泰勒公式

利用分部积分法导出泰勒公式余项的一种表示——余项的积分表示

定理：带积分余项的泰勒公式

\[ R_n(x) = \frac{1}{n!} \int_{a}^x f^{(n+1)}(t) (x-t)^n dt \]

称上式为积分形式的余项.

（证明通过对牛顿-莱布尼茨公式做分部积分 \(n\) 次得到带积分余项的泰勒公式）.

柯西型余项

在上述定理中，对余项用推广的积分第一中值定理可得

\[ R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!} (x-\xi)^n (x-a) \]

这种形式的余项称为柯西型余项.

注：拉格朗日余项也可以由积分余项通过t推广的积分第一中值定理得到.

函数的凸性与拐点

凸函数

定义：凸函数 设 \(f\) 为定义在区间 \(I\) 上的函数，若对 \(I\) 上的任意两点 \(x_1, x_2\) 和任意实数 \(\lambda \in (0,1)\)，总有

\[ f(\lambda x_1 + (1 - \lambda)x_2) \leq \lambda f(x_1) + (1 - \lambda)f(x_2), \]

则称 \(f\) 为 \(I\) 上的凸函数. 反之，若总有

\[ f(\lambda x_1 + (1 - \lambda)x_2) \geq \lambda f(x_1) + (1 - \lambda)f(x_2), \]

则称 \(f\) 为 \(I\) 上的凹函数.

注：

若上述两不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数和严格凹函数；
容易证明，若 \(-f\) 为区间 \(I\) 上的凸函数，则 \(f\) 为区间 \(I\) 上的凹函数. 因此，只需讨论凸函数的性质即可.
该定义的几何意义即为：连接函数上两点间的线段（割线），比较函数与割线的上下关系.

定理：凸函数定义的等价陈述方式

设函数 \(f\) 在区间 \(I\) 上有定义，则以下各项陈述互相等价：

\(f\) 在区间 \(I\) 是（下）凸函数；
对任何 \(x_1, x_2 \in I, x_1 < x_2\)，和介于 \(x_1\) 与 \(x_2\) 之间的任何 \(x\)，都有

\[ f(x) \leq \frac{x_2 - x}{x_2 - x_1} f(x_1) + \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} f(x_2); \]

注：不等式右边即为割线方程.
对任何 \(x_1, x_2 \in I, x_1 < x_2\)，和介于 \(x_1\) 与 \(x_2\) 之间的任何 \(x\)，都有

\[ \frac{f(x) - f(x_1)}{x - x_1} \leq \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} \leq \frac{f(x_2) - f(x)}{x_2 - x}; \]

注：几何意义显然.
对任何 \(x_1, x_2 \in I, x_1 < x_2\)，和介于 \(x_1\) 与 \(x_2\) 之间的任何 \(x\)，都有

\[ \frac{f(x) - f(x_1)}{x - x_1} \leq \frac{f(x_2) - f(x)}{x_2 - x_1}. \]

注：如果把 1 中的 “（下）凸” 改成 “严格（下）凸”，并把 2、3、4 和 5 中的各个不等号改成严格的不等号，那么修改后的各条陈述也仍然是互相等价的.

定理：Jensen 不等式 若 \(f\) 为 \([a,b]\) 上的凸函数，则对任意 \(x_i \in [a,b], \lambda_i > 0 \ (i=1,2,\cdots,n), \sum_{i=1}^n \lambda_i = 1\)，有

\[ f\left(\sum_{i=1}^n \lambda_i x_i\right) \leq \sum_{i=1}^n \lambda_i f(x_i). \]

注：如 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上严格凸，则上述不等式可为严格不等式，除非 \(x_1=x_2=\cdots=x_n\).

利用导数判别凹凸与拐点

定理：利用一阶导判定函数凹凸性

设函数 \(f\) 在区间 \(I\) 连续，在 \(I^0\) 可导。则 \(f\) 在区间 \(I\) 为凸函数（严格凸函数）的充要条件是 \(f'\) 在 \(I^0\) 单调上升（严格单调上升）.

定理：利用二阶导判定函数凹凸性

设函数 \(f\) 在区间 \(I\) 连续，在 \(I^0\) 二阶可导，则 \(f\) 在区间 \(I\) 为凸函数的充要条件是：

\[ f''(x) \geq 0, \quad \forall x \in I^0. \]

而 \(f\) 在区间 \(I\) 为严格凸函数的充要条件是：

\[ f''(x) \geq 0, \quad \forall x \in I^0, \]

并且 \(f''\) 不在 \(I^0\) 的任何开子区间上恒等于0.

注：关于二次可导函数为凹函数的条件，也有相应的结果.

定义：拐点

设函数 \(f\) 在 \(U(x_0, \eta)\) 上有定义，并且在 \(x_0\) 的左右两侧有不同的凹凸性，则称点 \((x_0,f(x_0))\) 为 \(f\) 的一个拐点.

注：华师大《数学分析》第六版教材定义该点为拐点，北大《数学分析新讲》（重排本）上定义 \(x_0\) 为拐点.

对于可导函数 \(f\) 来说，拐点就是 \(f'\) 改变单调性的地方（因而也就必须是 \(f'\) 的极值点）.

定理：拐点的必要条件

设函数 \(f\) 在 \(U(x_0, \eta)\) 上有定义，在 \(x_0\) 处有二阶导数。如果 \(x_0\) 是 \(f\) 的一个拐点，那么必有

\[ f''(x_0) = 0. \]

定理：拐点的第一充分条件

设函数 \(f\) 在 \(U(x_0, \eta)\) 上有二阶导数，\(f''(x_0) = 0\)。如果 \(f''(x)\) 经过 \(x_0\) 时改变符号，那么 \(x_0\) 点是函数 \(f\) 的拐点.

定理：拐点的第二充分条件

设函数 \(f\) 在 \(x_0\) 处有三阶导数. 如果

\[ f''(x_0) = 0, \quad f'''(x_0) \neq 0, \]

那么 \(x_0\) 点是函数 \(f\) 的拐点.

注：仿照极值的第三充分条件，还可陈述关于拐点的第三充分条件.

函数图像

曲线的渐近线

曲线 \(y = f(x)\) 有竖直渐近线 \(x = a\) 的充要条件是函数 \(f(x)\) 在 \(a\) 点有无穷间断，也就是

\[ \lim_{x \to a} f(x) = \infty\quad(a \in \mathbb{R}) \]
曲线 \(y = f(x)\) 有斜渐近线 \(y = kx + b\) 的充要条件是

\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = k, \]

\[ \lim_{x \to +\infty} (f(x) - kx) = b. \]

这里所说的“斜渐近线”，包括 \(k = 0\) 的情形，即包括了水平渐近线。容易看出：曲线 \(y = f(x)\) 有水平渐近线 \(y = b\) 的充要条件是

\[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = b. \]

作函数图像

一般步骤：

求定义域；
求奇偶性、周期性；
求渐近线；
求 \(f'(x)=0\) 的根和各根间的符号，判别升降与极值情况；
求 \(f''(x)=0\) 的根和各根间的符号，判别凹凸与拐点情况；
标出代表性的点：与坐标轴交点、不连续点、不可导点等.
作图

简单来说：域、性、线、根、点