07 定积分（黎曼积分）

定义与初等性质

定义：定积分

设 \(f\) 是定义在 \([a,b]\) 上的一个函数，\(J\) 是一个确定的实数. 若对任给的数 \(\varepsilon\)，总存在某一正数 \(\delta\)，使得对 \([a,b]\) 的任何分割 \(T\)，以及在其上任意选取的点集 \(\{\xi_i\}\)，只要 \(\|T\| < \delta\)，就有

\[ \left| \sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i - J \right| < \varepsilon, \]

则称函数 \(f\) 在区间 \([a,b]\) 上可积或黎曼可积；数 \(J\) 称为 \(f\) 在 \([a,b]\) 上的定积分或黎曼积分，记作

\[ J = \int_{a}^{b}f(x)dx. \]

其中 \(\int\) 称为积分号，\(f\) 称为被积函数，\(x\) 称为积分变量，\([a,b]\) 称为积分区间，\(a,b\) 分别称为这个定积分的下限和上限.

注1 把定积分定义的 \(\varepsilon\)-\(\delta\) 说法和函数极限的 \(\varepsilon\)-\(\delta\) 说法相对照，把它写作

\[ J = \lim_{\|T\| \to 0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i = \int_{a}^{b}f(x)dx. \]

但积分和的极限与函数的极限之间有区别：在函数极限 \(\lim\limits_{x \to a}f(x)\) 中，对每一个极限变量 \(x\) ，\(f(x)\) 的值是唯一确定的；而对于积分和的极限，每一个 \(\|T\|\) 并不唯一对应积分和一个值.

注2：定积分的几何意义

对于 \([a,b]\) 上的连续函数 \(f\)，当 \(f(x) \geq 0, x \in [a,b]\) 时，定积分的几何意义就是该曲边梯形的面积；当 \(f(x) \leq 0, x \in [a,b]\) 时，\(J = -\int_{a}^{b}(-f(x))dx\) 是位于 \(x\) 轴下方的曲边梯形面积的相反数，称之为“负面积”；

对于一般非定号的 \(f(x)\) 而言，定积分 \(J\) 的值是曲线 \(y=f(x)\) 在 \(x\) 轴上方部分所有曲边梯形的正面积与下方部分所有曲边梯形的负面积的代数和.

注3 定积分作为积分和的极限，它的值只与被积函数 \(f\) 和积分区间 \([a,b]\) 有关，而与积分变量所用的符号无关，即

\[ \int_a^b f(x) \, dx = \int_a^b f(t) \, dt = \int_a^b f(\theta) \, d\theta = \cdots. \]

定理：定积分的线性性质

设函数 \(f\) 和 \(g\) 在 \([a,b]\) 上可积，\(\lambda \in \mathbb{R}\)，则函数 \(f + g\) 和函数 \(\lambda f\) 也都在 \([a,b]\) 上可积，并且

\[ \int_a^b (f(x) + g(x)) dx = \int_a^b f(x) dx + \int_a^b g(x) dx, \]

\[ \int_a^b \lambda f(x) dx = \lambda \int_a^b f(x) dx. \]

引理设函数 \(f\) 在 \([a,b]\) 上可积，则 \(f\) 在 \([a,b]\) 上有界.

定理：关于积分区间的可加性

\(f\) 在 \([a,b]\) 上可积的充要条件是：任给 \(c \in (a,b)\)，\(f\) 在 \([a,c]\) 与 \([c,b]\) 上都可积。此时又有等式

\[ \int_a^b f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx + \int_c^b f(x) \, dx. \]

定理：积分的单调性

设 \(a < b\)，函数 \(f\) 和 \(g\) 在区间 \([a, b]\) 上可积并且满足

\[ f(x) \leq g(x), \quad \forall x \in [a, b], \]

则有

\[ \int_{a}^{b} f(x) dx \leq \int_{a}^{b} g(x) dx. \]

定理：积分第一中值定理

设 \(a < b\)，函数 \(f\) 在 \([a, b]\) 上可积（于是 \(f\) 在 \([a, b]\) 上有界）. 如果

\[ m \leq f(x) \leq M, \quad \forall x \in [a, b], \]

那么

\[ m(b-a) \leq \int_{a}^{b} f(x) dx \leq M(b-a). \]

特别地，如果 \(f\) 在 \([a, b]\) 连续，那么存在 \(c \in [a, b]\)，使得

\[ \int_{a}^{b} f(x) dx = f(c)(b-a). \]

注：几何意义显然.

牛顿-莱布尼茨公式

定理：牛顿-莱布尼茨公式

设函数 \(f\) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续。如果存在函数 \(F\)，它在 \([a,b]\) 上连续，在 \((a,b)\) 上可导，并且满足

\[ F'(x) = f(x), \quad \forall x \in (a,b), \]

那么函数 \(f\) 在 \([a,b]\) 上可积，并且

\[ \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a). \]

定积分的换元积分法和分部积分法

定理：定积分换元积分法

若函数 \(f\) 在 \([a,b]\) 上连续，\(\varphi\) 在 \([\alpha,\beta]\) 上可积，且满足

\[ \varphi(\alpha) = a, \quad \varphi(\beta) = b, \quad \varphi([\alpha,\beta]) \subseteq [a,b], \]

则有定积分换元公式：

\[ \int_a^b f(x) dx = \int_\alpha^\beta f(\varphi(t)) \varphi'(t) dt. \]

注：如果只假定 \(f\) 为可积函数，但还要求 \(\varphi\) 是单调的，上式仍然成立.

定理：定积分分部积分法 若 \(u(x), v(x)\) 为 \([a, b]\) 上的可微函数，且 \(u'(x)\) 和 \(v'(x)\) 都在 \([a, b]\) 上可积，则有定积分分部积分公式：

\[ \int_a^b u(x) dv(x) = u(x) v(x) \bigg|_a^b - \int_a^b v(x) du(x). \]

沃利斯(Wallis)公式：

\[ \frac{\pi}{2} = \lim_{m \to \infty} \left( \frac{(2m)!!}{(2m-1)!!} \right)^2 \cdot \frac{1}{2m+1}. \]

定积分的几何引用

平面图形的面积

一般的函数

由连续曲线 \(y = f(x)\)（\(\geq 0\)），以及直线 \(x = a\), \(x = b\)（\(a < b\)）和 \(x\) 轴所围曲边梯形的面积为

\[ A = \int_a^b f(x) \, dx = \int_a^b y \, dx. \]

若 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上不都是非负的，则所围图形的面积为

\[ A = \int_a^b |f(x)| \, dx = \int_a^b |y| \, dx. \]

一般地，由上、下两条连续曲线 \(y = f_2(x)\) 与 \(y = f_1(x)\) 以及两条直线 \(x = a\) 与 \(x = b\)（\(a < b\)）所围的平面图形（图10-1），它的面积计算公式为

\[ A = \int_a^b (f_2(x) - f_1(x)) \, dx. \]

注：根据图形，可改取积分变量为 \(y\).

参变量函数

设曲线 \(C\) 由参数方程

\[ x = x(t), \quad y = y(t), \quad t \in [\alpha, \beta] \]

给出，在 \([\alpha, \beta]\) 上 \(y(t)\) 连续，\(x(t)\) 连续可微且 \(x'(t) \neq 0, t \in (\alpha, \beta)\)（对于 \(y(t)\) 连续可微且 \(y'(t) \neq 0, t \in (\alpha, \beta)\) 的情形可类似地讨论）。记 \(a = x(\alpha)\), \(b = x(\beta)\)（\(a < b\) 或 \(b < a\)），则由曲线 \(C\) 及直线 \(x = a\), \(x = b\) 和 \(x\) 轴所围的图形，其面积计算公式为

\[ A = \int_\alpha^\beta |y(t)x'(t)| dt. \]

极坐标方程

极坐标下，整个图形的面积为：

\[ S = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} r^2 (\theta) d\theta. \]

微分式 \(\frac{1}{2} r^2 (\theta) d\theta\) 叫作用极坐标表示的面积微元，表示夹角为 \(d\theta\)，半径为 \(r(\theta)\) 的一个微小扇形的面积.

旋转体的体积

设函数 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上有定义并且非负。曲线 \(y=f(x)\) 绕 \(OX\) 轴旋转而成一曲面

\[ y^2+z^2=(f(x))^2, \quad x\in [a,b]. \]

考察该曲面与平面 \(x=a\) 和 \(x=b\) 所围成的体积. 易将整个旋转体的体积表示为积分

\[ V=\pi \int_a^b f^2(x)dx. \]

我们把微分表示式 \(\pi f^2(x)dx\) 称为旋转体的体积微元，表示厚度为 \(dx\)，半径为 \(f(x)\) 的一个薄圆柱体的体积.

推广上述方法可以求得一类更广泛的立体的体积：设已知立体 \(\Omega\) 在 \(x\in[a,b]\) 处被垂直于 \(OX\) 轴的平面所截得的截面积为 \(A(x)\) （ \(A(x)\) 为 \(\Omega\) 的截面面积函数），求该立体介于平面 \(x=a\) 和 \(x=b\) 之间的体积。此时体积微元可取为\(A(x)dx.\) 将这种形式的微元叠加起来求极限就得到所求的体积

\[V=\int_a^b A(x)dx.\]

曲线的弧长

定义如果存在有限极限

\[ \lim_{\| T \| \to 0} s_T = s, \]

即任给 \(\varepsilon > 0\)，恒存在 \(\delta > 0\)，使得对 \(C\) 的任何分割 \(T\)，只要 \(\| T \| < \delta\)，就有

\[ | s_T - s | < \varepsilon, \]

则称曲线 \(C\) 是可求长的，并把极限 \(s\) 定义为曲线 \(C\) 的弧长.

定理设曲线 \(C\) 是一条没有自交点的非闭的平面曲线，由参数方程

\[ x = x(t), \quad y = y(t), \quad t \in [\alpha, \beta]\tag{1} \]

给出；若 \(x(t)\) 与 \(y(t)\) 在 \([\alpha, \beta]\) 上连续可微，则 \(C\) 是可求长的，且弧长为

\[ s = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2} dt.\tag{2} \]

注：公式(2)也可以直接推广到有自交点的(非)闭的平面曲线的情形.

性质设 \(AB\) 是一条没有自交点的非闭的可求长的平面曲线。如果 \(D\) 是 \(AB\) 上一点，则 \(AD\) 和 \(DB\) 也是可求长的，并且 \(AB\) 的弧长等于 \(AD\) 的弧长与 \(DB\) 的弧长的和.

定义设曲线 \(AB\) 是一条没有自交点的闭的平面曲线. 在 \(AB\) 上任取一点 \(P\) 将 \(AB\) 分成两段非闭曲线，如果 \(AP\) 和 \(PB\) 都是可求长的，则称 \(AB\) 是可求长的，并把 \(AP\) 的弧长和 \(PB\) 的弧长的和定义为 \(AB\) 的弧长.

直角坐标方程

若曲线 \(C\) 由 \(y = f(x), \quad x \in [a,b]\) 表示,把它看作参数方程时，即为 \(x = x, \quad y = f(x), \quad x \in [a,b].\) 所以当 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续可微时,此曲线即为一光滑曲线。这时弧长公式为

\[ s = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + f'^2(x)} dx. \]

极坐标方程

若曲线 \(C\) 由 \(r = r(\theta), \quad \theta \in [\alpha,\beta]\) 表示,把它化为参数方程,则为 \(x = r(\theta) \cos \theta, \quad y = r(\theta) \sin \theta, \quad \theta \in [\alpha,\beta].\) 由于

\[ x'(\theta) = r'(\theta) \cos \theta - r(\theta) \sin \theta, \]

\[ y'(\theta) = r'(\theta) \sin \theta + r(\theta) \cos \theta, \]

\[ x'^2(\theta) + y'^2(\theta) = r^2(\theta) + r'^2(\theta), \]

因此当 \(r'(\theta)\) 在 \([ \alpha , \beta ]\) 上连续,且 \(r(\theta)\) 与 \(r'(\theta)\) 不同时为零时,此极坐标曲线为一光滑曲线。这时弧长公式为

\[ s = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{r^2(\theta) + r'^2(\theta)} d\theta. \]

旋转曲面的面积

考察位于 \(OXY\) 坐标系上半平面内的一条无自交点的 \(C^1\) 参数曲线 \(AB\)：

\[ x = x(t), \quad y = y(t) \quad (\geq 0), \quad \alpha \leq t \leq \beta. \]

以该曲线为母线，绕 \(OX\) 轴旋转一周，生成了一个旋转曲面. 求这个曲面的面积. 可以证明由这段曲线弧旋转而成的曲面面积表示为

\[ S = 2\pi \int_{a}^{\beta} y(t) \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2} dt. \]

旋转曲面的面积元为

\[ dS = 2\pi y(t) \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2} dt. \]