数列极限

引理设 \(\{\alpha_n\}\) 和 \(\{\beta_n\}\) 是实数序列，并设存在 \(N_0\in N\) ,使得

\[ |\alpha_n|\le\beta_n,\forall n>N_0. \]

如果 \(\{\beta_n\}\) 是无穷小序列，那么 \(\{\alpha_n\}\) 也是无穷小序列。

则证明 \(f(a_n)\) 极限为\(A\), 就可以转化为证明对 \(\forall\epsilon\) 当 \(n>N\) 时\(|f(a_n)-A|<某无穷小数列<\epsilon\) 据此反推出\(N\)需要满足的条件（关于\(\epsilon\)的表达式）

例如在证明极限加法法则与乘法法则时，用到

\[ |(x_n+y_n)-(a+b)|\le |x_n-a|+|y_n-b|, \]

\[ |x_ny_n-ab|=|x_ny_n-ay_n+ay_n-ab|\le |x_n-a||y_n|+|a||y_n-b|. \]

由于 \(\lim\limits_{n \to \infty} x_n=a\) , \(\lim\limits_{n \to \infty} y_n=b\) ,我们希望凑出 \(|x_n-a|\) 和 \(|y_n-b|\)
此方法也用于证明柯西数列有界，取一个 \(\epsilon=1\) , 则存在\(N\in \mathbb{N},\dots\), 取 \(K=\max\{|x_1|,\cdots,|x_N|,1+|x_{N+1}|\) 就有 \(|x_n|\le K,\forall n \in \mathbb{N}\).

常用等价表述，结合适当放大法（证明 \(|x_{n+p}-x_n|<\epsilon\)）.

见下文

利用常用不等式[[不等式]]或其它放缩技巧[[常见放缩]]，求出能够”夹住“原数列的两个数列拥有相同极限，再利用夹逼定理即可。

通过数列的递推公式得出数列（某一项之后）的单调性，然后根据单调有界定理设出极限 \(x\)，并对递推公式（两边）取极限，得到关于极限 \(x\) 的方程，求解并根据实际情况舍去不合理的解。