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历年卷梳理

本页梳理 18-19，19-20，21-22，22-23，23-24 共五份线性代数I（H）的回忆卷中涉及的知识点和方法/技巧，\(\times n\) 代表考察次数（仅供参考）.

一、 线性空间、基与维数

  • 证明/使得 向量组线性无关/基：线性无关定义 \(\quad \times 5\)
  • 证明线性（子）空间 \(\quad \times 3\)
    • 线性子空间：验证 非空（0） 以及 加法封闭和数乘封闭。
    • 线性空间：加法封闭、数乘封闭、加法交换、加法结合、零元（加法单位元）、逆元、数乘对向量的分配、数乘对数的分配、数乘结合、1（数乘单位元）（2条封闭+8条运算律） \(\quad \times 0\)
  • 基的构造与扩充 \(\quad \times 3\)
    • 核空间（解齐次线性方程组）到全空间
    • 子空间的交与和 -- 先求 \(U \cap W\) 的基，分别扩充成 \(U\) 和 \(W\) 的基，合并求极大线性无关组
    • 可用于构造符合要求的可逆矩阵
  • 同构判别：有限维线性空间同构的充要条件是维数相等（同一数域） \(\quad \times 2\)
    • 注意数域对同构的影响，比如复数集 \(\mathbb{C}\) 在数域 \(\mathbb{R}\) 下的维数为2，在数域 \(\mathbb{C}\) 下的维数为1。
  • 求子空间的 交/和 的维数和基
    • 交：同时属于两个子空间的条件进行推导
    • 和：合并两个子空间的基，求极大线性无关组
  • 包含集合中所有向量的最小线性子空间是由这组向量张成的空间
  • 过渡矩阵（每一列是新基向量在旧基下的坐标）

二、 线性映射与变换

  • 求线性映射（变换）的矩阵表示 \(\quad \times 4\)
    • 定义--求出发空间一组基在到达空间一组基下的像作为列向量组合为矩阵；
    • 邪修：设X，求AX。（只适用标准基到标准基，可验算用）
    • 已确定一组线性无关向量组（一组基）的像，求在自然基（另一组基）下的矩阵（回归定义）
  • 证明线性映射（变换）：线性性（加性 + 齐性） \(\quad \times 4\)
  • 线性映射的维数公式、子空间运算的维数公式 \(\quad \times 3\)
  • 核空间与像空间 \(\quad \times 3\)
    • 求解核空间：定义（0的原像）
    • 求解像空间：取出发空间的一组基，求基的像的极大线性无关组，即为像空间的一组基。 \(\times 2\)
  • 基的选择对变换矩阵的影响 \(\quad \times 2\)
    • \(B_2 = B_1 C \Rightarrow\) 如果 \(\sigma\) 在基 \(B_1\) 下的矩阵为 \(A\)，则 \(\sigma\) 关于基 \(B_2\) 所对应的矩阵为 \(C^{-1}AC\)。
  • 不同线性空间之间的线性映射
  • 限制映射的维数公式：\(\dim V = \dim(L_B(V)) + \dim(\text{Ker}(L_B) \cap V)\)

三、 特征值、特征向量与对角化

  • 求特征值（\(|\lambda E - A|=0\)）、特征向量（代入特征值解齐次线性方程组） \(\quad \times 4\)
  • 行列式等于特征值按重数积，迹等于特征值按重数和 \(\quad \times 4\)
  • 矩阵多项式与特征值 \(\quad \times 2\)
    • 若 \(A\) 的特征值为 \(\lambda_1, \dots, \lambda_n\)，则对于多项式 \(f(A)\)，其特征值为 \(f(\lambda_1), \dots, f(\lambda_n)\)；
    • 某矩阵满足某多项式方程，则矩阵的特征值也满足相同的标量方程 \(\Rightarrow\) 矩阵的所有特征值是其零化多项式的根（零化多项式即满足 \(f(A)=O\) 的多项式）。
  • 特征值与矩阵结构：任意 \(n\) 阶矩阵，特征多项式为 \(n\) 次多项式，复数域内有且仅有 \(n\) 个根（含重根），即一定有 \(n\) 个特征值（含重数和复数）；--据此可以设出特征值。
  • 特征值的基本性质
    • 前面提到的 \(f(\sigma)(\xi) = f(\lambda)\xi\)；\(\lambda^{-1}\) 是 \(A^{-1}\) 的特征值；\(|A|\lambda^{-1}\) 是伴随矩阵 \(A^*\) 的特征值
    • 以上特征值对应的特征向量不变
  • 可对角化的条件
    • 充分条件：\(n\) 个互异特征值/实对称矩阵（二次型）
    • 充要条件：\(n\) 个线性无关特征向量构成基/特征子空间维数和为 \(n\)/所有代数重数=几何重数
  • 特征多项式展开：\(a_0=1, a_1=-\text{tr}(A), a_n=(-1)^n|A|\)
  • 特征子空间的维数就是齐次线性方程组解空间的维数 \(n-r\)
  • 一个线性映射在某组基下是对角矩阵，当且仅当这组基是由该映射的特征向量构成的
    • 对角矩阵即为相应特征值的排列

四、 矩阵、秩与伴随矩阵

  • 秩-1矩阵的分解 \(\quad \times 2\)
    • 任一秩为 1 的矩阵 \(A\) 都可以分解为一个列向量 \(\alpha\) 与一个行向量 \(\beta^T\) 的乘积（外积形式）即 \(A = \alpha\beta^T\) （\(\alpha, \beta\) 均为 \(n\) 维非零列向量）-- \(A\) 的高次幂证明常用
    • 秩-1矩阵 \(A = \alpha\beta^T\) 可对角化的充要条件是 \(\text{tr}(A) = \beta^T\alpha \neq 0\) （或 \(A=O\)）。
  • 秩的不等式 \(r(AB) \le \min\{r(A), r(B)\}\) \(\quad \times 2\)
  • 相似矩阵性质（相似的必要不充分条件）：相似矩阵拥有相同特征值、行列式、秩和迹。
  • 伴随矩阵的性质
    • 任意矩阵 \(A\) 有 \(AA^* = A^*A = |A|E\)，若 \(A\) 可逆...
    • \(|A^*| = |A|^{n-1}\)，无论 \(A\) 是否可逆
    • \((A^*)^* = |A|^{n-2}A\)
  • 伴随矩阵的秩（按原矩阵秩的不同情况分类：满则满，缺1则1，缺多则0）。
  • 矩阵相抵的充要条件是秩相等 \(\quad \times 0\)
  • 相似与相合均满足秩相等，即相抵
  • 给出一个矩阵仅有秩这一信息，可以设出它的相抵标准形（\(PAQ\)）

五、 线性方程组

  • 线性方程组解的结构 \(\quad \times 4\)
    • 非齐次通解=特解+导出组通解，齐次方程组解空间（\(N(A)\)）维数 \(n-r(A)\)，相应非齐次方程组解空间维数 \(n-r+1\)。
  • 含参数的线性方程组问题（参数取值如何时有解/无解/有唯一解） \(\quad \times 2\)
    • 线性方程组解的一般理论：有解等价于增广矩阵的秩与系数矩阵的秩相同
    • 有解情况下，系数矩阵 \(r < n\) 有无穷多解，\(r = n\) 有唯一解
    • Cramer 法则：线性方程组系数行列式为0即无解或无穷多解，系数行列式不为0有唯一解

六、 行列式

  • 行列式性质（公理化定义）：一列为0值为0；两列相同值为0；两列成比例值为0；倍加列变换值不变；列向量线性相关值为0。
  • 代数余子式与余子式
    • 余子式就是剩下的 \(n-1\) 阶行列式（值）记作 \(M_{ij}\)，代数余子式带有符号系数为 \(A_{ij} = (-1)^{i+j} \times M_{ij}\)，行列式按行/列展开时用代数余子式
  • 行列式性质：乘积可拆加减不可拆；转置行列式等于行列式 ...
  • 上（下）三角矩阵的特征值就是主对角线上的元素。
  • Vandermonde 行列式

七、 二次型、正定性与相合

  • 实对称矩阵的对角化（二次型化为标准形）：初等变换法/配方法 \(\quad \times 5\)
  • 正负惯性指数 \(\quad \times 4\)
  • 正定阵判定 \(\quad \times 2\)
    • 顺序主子式判据 -- 所有顺序主子式 \(> 0 \iff\) 正定
    • 所有主子式 \(\ge 0 \iff\) 半正定
  • 矩阵相合（通常讨论实对称矩阵）的充要条件是秩和正负惯性指数分别相等 \(\quad \times 2\)
    • （复数域上只要秩相等，即相抵）
  • 判定矩阵可逆：
    • 充分条件：主对角元非零的对角矩阵
    • 充要条件：\(|A| \neq 0\) \(\quad \times 2\)
  • 实二次型的特征值都是正数 \(\iff\) 正定二次型

八、 欧氏空间与内积

  • 证明正交变换/矩阵 -- 定义：\(C^TC = E\) 或 \(C^T = C^{-1}\) \(\quad \times 2\)
  • 正交子空间定义、正交子空间的和为直和
  • 实向量的范数性质：\(Y^TY = \sum y_i^2 = 0 \iff Y = \mathbf{0}\)。这是区分实矩阵与复矩阵、处理对称性问题的关键。
  • 迹与内积的关系：对 \(A = \alpha\beta^T, \text{tr}(A) = \text{tr}(\alpha\beta^T) = \sum_{i=1}^n \alpha_i\beta_i = \beta^T\alpha\)

九、 技巧/思想梳理

  • 左乘矩阵 \(A\) -- \(kX = 0 \rightarrow kAX = 0\) 从而利用 \(AX\) 的某些性质，如 \(AX_0 = \beta\) 而 \(AX_i = 0\) 等 或左乘转置矩阵等 \(\quad \times 3\)
  • 矩阵乘法的列观察法 \(\quad \times 3\)
    • \(AB = O\) 本质是 \(B\) 的每一个列向量是 \(AX = 0\) 的解 \(\Rightarrow C(B) \subseteq N(A)\)。
    • 通过取一个满足条件的列向量组合成满足条件的矩阵。
  • 行和相等的矩阵 \(\quad \times 2\)
    • \(x \iff (1, \dots, 1)^T\) 是特征向量，\(x\) 是特征值。（特征值与特征向量匹配）
    • 记 \(v = (1, \dots, 1)^T\)，则 \(Av = sv\) 其中 \(s\) 为特征值，可能已知也可能未知。-- 可以简化一些推导
  • 对于可对角化矩阵（如特征值互异），秩 = 非零特征值的个数。（有几个特征值为 0，秩就比阶数少几）。
  • 特征值 0 对应的解空间就是齐次方程组 \(AX = 0\) 的解空间
  • 降阶/剥离思想：如果直接证明一组向量无关很难，通常利用某种算子(矩阵)作用，把其他项“杀掉”（变为 0），只留下一项来处理。（利用矩阵幂次过滤低阶项、前面提到的作用矩阵A）
  • 处理递归定义的向量组，从最高次幂开始往前作用
  • \(A+rE\) 可逆 \(\iff -r\) 不是特征值。
  • 求多个余子式的线性组合，先观察是否存在不硬算的规律
  • 同一大题的不同小问可能有联系
  • 证明两个矩阵可交换，可以把其中一个矩阵表示为另一个矩阵的多项式。
  • 单位元拆分：\(A = E - (E - A)\) 处理含有单位阵的复杂逆矩阵表达式。-- 乘法化简为加减法证明可交换性
  • 提取公因子：\((E - A)(E + A)^{-1} + E = [(E - A) + (E + A)](E + A)^{-1}\)。单位阵可以拆成一个可逆矩阵与其逆矩阵的乘积。证明矩阵可逆/非特征值。
  • 如果 \(B = f(A)\) 且 \(C = g(A)\)，那么 \(B\) 和 \(C\) 一定可交换（多项式/函数，可含有 \(A^2, A^{-1}, e^A, (E+A)^{-1}, \sqrt{A}\)）
  • 互为倒数的结构：当矩阵满足某种关于特征值的特殊对称性（如 \(\lambda_2 + \lambda_3 = 0\)）时，这种结构往往能在求逆后得以保持
  • \(E + \lambda xx^T\) 结构的特征值分析：设 \(x\) 为单位向量 \((1, 0, \dots, 0)^T\)
  • 对“任意”、“必存在”等绝对化词语，优先尝试构造最简单的反例，如取 \(0, 1, E,\) 秩-1矩阵
  • 关于矩阵性质（正定性、可逆性、相似性）的问题，大多可以转化为对特征值的讨论
  • 处理不同维数线性映射/矩阵（\(m\) 和 \(n\) 维）的问题时，关注 \(m\) 和 \(n\) 的大小关系
  • 注意数域