11 二次型

二次型的定义

定义：二次型

$n$ 个元 $x_1, x_2, \ldots, x_n$ 的二次齐次多项式

\[ \begin{align*} f(x_1, x_2, \ldots, x_n) &= \sum_{i=1}^n a_{ii}x_i^2 + \sum_{1 \leq i < j \leq n} 2a_{ij}x_i x_j \\ &= a_{11}x_1^2 + a_{22}x_2^2 + \cdots + a_{nn}x_n^2 \\ &\quad + 2a_{12}x_1x_2 + \cdots + 2a_{1n}x_1x_n + 2a_{23}x_2x_3 + \cdots + 2a_{n-1,n}x_{n-1}x_n \end{align*} \]

称为域 $\mathbf{F}$ 上的 $n$ 元二次型（简称二次型）。

实域上,若令 $a_{ij} = a_{ji}$（$1 \leq i < j \leq n$），则二次型可表示为 $$ f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}x_i x_j = X^TAX $$ 其中 $X = (x_1, x_2, \ldots, x_n)^T \in \mathbb{R}^n$，$A = (a_{ij})_{n \times n}$ 为实对称矩阵，并称对称矩阵 $A$ 为二次型 $f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ 的相伴矩阵。 注：这样的定义保证了二次型的相伴矩阵的唯一性.

矩阵相合的定义与性质

二次型的基本问题是寻找一个可逆的线性变换（换坐标），把复杂的二次型变成只含有平方项的“标准形”. 也就是把矩阵 $A$ 变成对角矩阵 $\Lambda$. 考虑原坐标为 $X$，新坐标为 $Y$ ，设 $X = PY$ ，其中 $P$ 是可逆矩阵. 原二次型为 $f(X) = X^TAX$. 而用 Y 代换X，便可以得到 $g(Y) = Y^T(P ^TAP)Y$ ，虽然未必能立刻得到标准形，但这一变换是二次型的一个基本操作，我们称之为相合变换.

定义

我们称 $n$ 阶矩阵 $A$ 相合于 $B$（记作 $A \simeq B$），如果存在可逆矩阵 $C$ 使得 $B = C^T A C$.

矩阵相合（合同）的基本性质

合同是等价关系；合同不同于相似，是与域有关的；合同要求 $C$ 必须可逆，因此是一种特殊的相抵；
$A \simeq B$ 一般不能得到 $A^m \simeq B^m$（但是 $A, B$ 为实对称矩阵时可以），但如果可逆，我们有 $A^{-1} \simeq B^{-1}$，同时如果 $A_1 \simeq A_2, B_1 \simeq B_2$，则有

\[ \begin{pmatrix} A_1 & O \\ O & B_1 \end{pmatrix} \simeq \begin{pmatrix} A_2 & O \\ O & B_2 \end{pmatrix} \]

$A \simeq B$ 表明 $A$ 可以每次做相同的初等行列变换得到 $B$，反之亦然。

二次型标准形的定义与求解

引理

对称矩阵 $A$ 的下列变换都是相合变换：

对换 $A$ 的第 $i$ 行与第 $j$ 行，再对换第 $i$ 列与第 $j$ 列；
将非零数 $k$ 乘以 $A$ 的第 $i$ 行，再将 $k$ 乘以 $A$ 的第 $i$ 列；
将 $A$ 的第 $i$ 行乘以 $k$ 加到第 $j$ 行，再将 $A$ 的第 $i$ 列乘以 $k$ 加到第 $j$ 列。

引理

设 $A$ 是域 $\mathbf{F}$ 上的非零对称矩阵，则必定存在可逆矩阵 $C$ 使得 $C^TAC$ 的第 (1, 1) 个元素不为 0.

定理

设 $A$ 是域 $\mathbf{F}$ 上的 $n$ 阶对称矩阵，则必存在 $\mathbf{F}$ 上的 $n$ 阶可逆矩阵 $C$，使得 $C^TAC$ 为对角矩阵.

相合规范形惯性定理

由于相合标准形不是唯一的，我们希望统一相合标准形.

定义

任一对角矩阵一定相合于 $\operatorname{diag}(1, \dots , 1, −1, \dots , −1, 0, \dots , 0)$，我们称这一相合标准形为相合规范形，其中 +1 的个数（可以是0）称为矩阵的正惯性指数，−1 的个数（可以是0）称为矩阵的负惯性指数. 并且由于变换矩阵可逆，根据相抵标准形的结论，我们有原矩阵 $A$ 的秩 $r(A)$ 等于这一对角矩阵的秩，于是也等于正负惯性指数之和.（矩阵可逆时相合规范形的主对角元没有0）.

定理：惯性定理

实对称矩阵的相合规范形唯一.

注：与前面提到的合同关系与域相关联系，复数域中，只要秩相同，所有对称矩阵都合同，系数可以全部化为1，即“正负”惯性定律退化了，只剩下秩一个不变量. 但实数域中由于只有非负数可以开方，0开方仍然是零，保证了正、负惯性指数的唯一性.

根据惯性定理，我们有如下结论：

我们可以按相合关系对全体 $n$ 阶实对称矩阵分类，因为实对称矩阵相合意味着规范形唯一，我们可以按照 $+1, -1, 0$ 个数的不同划分为 $\frac{(n+1)(n+2)}{2}$ 个等价类；
实际上两个实对称矩阵相合的充要条件是它们有相同的正负惯性指数，两个对角矩阵相合的充要条件是对角线上正、负、零个数相同.

正定二次型和正定矩阵

定义：按照正定性对矩阵分类

设 $f(X) = X^T A X$ 是 $n$ 元实二次型，$A$ 是相伴矩阵.

若对任意非零 $n$ 元实列向量 $X$，都有 $f(X) > 0$，则称 $f(X)$ 是正定二次型，$A$ 是正定矩阵；
若对任意非零 $n$ 元实列向量 $X$，都有 $f(X) \geq 0$，则称 $f(X)$ 是半正定二次型，$A$ 是半正定矩阵；
若对任意非零 $n$ 元实列向量 $X$，都有 $f(X) < 0$，则称 $f(X)$ 是负定二次型，$A$ 是负定矩阵；
若对任意非零 $n$ 元实列向量 $X$，都有 $f(X) \leq 0$，则称 $f(X)$ 是半负定二次型，$A$ 是半负定矩阵；
若存在 $n$ 元实列向量 $X_1, X_2$，使得 $f(X_1) > 0$ 且 $f(X_2) < 0$，则称 $f(X)$ 是不定二次型.

定理

设 $f(X)$ 是 $n$ 元实二次型，$A$ 是 $f(X)$ 的相伴矩阵，$r$ 为 $A$ 的秩，$r_+$ 为 $A$ 的正惯性指数. 则

$f(X)$ 是正定二次型当且仅当 $r_+ = n$；
$f(X)$ 是半正定二次型当且仅当 $r_+ = r$.

推论

$n$ 阶实对称矩阵 $A$ 是正定矩阵当且仅当其合同于单位阵 $E_n$，是半正定矩阵当且仅当其合同于对角阵$\begin{pmatrix}E_r & O \\O & O\end{pmatrix}.$

定理

$n$ 阶实对称矩阵 $A$ 是正定阵的充分必要条件是 $A$ 的所有顺序主子式的行列式都大于 0.

推论

若 $A$ 是正定矩阵，则：

$A$ 的任一 $k$ 阶主子阵都是正定阵；
$A$ 的所有主子式均为正，特别地，$A$ 的主对角元素全大于零.

定理

$n$ 元实二次型 $f(X)$ 的特征值都是正数当且仅当 $f(X)$ 是正定二次型.

定理

若 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，则

若 $A$ 为半正定矩阵，则 $A$ 的顺序主子式非负；
$A$ 为半正定矩阵等价于 $A$ 的各阶主子式非负；
$A$ 为半正定矩阵等价于 $A$ 的所有特征值非负；