09 线性方程组一般理论
线性方程组解的一般理论
定理：线性方程组有解的充要条件
线性方程组有解的充分必要条件是其系数矩阵与增广矩阵有相同的秩.
定理：方程组有解的情况
当方程组有解时（注意这个前提），以下定理成立：
- 如果它的系数矩阵 \(A\) 的秩等于未知量的数目 \(n\)，则方程组有唯一解；
- 如果 \(A\) 的秩小于 \(n\)，则方程组有无穷多个解.
定理：Cramer 法则
对线性方程组
\[
\begin{cases}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = 0 \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = 0 \\
\vdots \\
a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n = 0
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\
\vdots \\
a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n = b_n
\end{cases}
\]
令
\[
D = \begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}
\]
称为系数行列式。
令
\[
D_1 = \begin{vmatrix}
b_1 & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
b_2 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
b_n & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}, \quad
D_2 = \begin{vmatrix}
a_{11} & b_1 & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & b_2 & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & b_n & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}, \quad \cdots, \quad
D_n = \begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & b_1 \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & b_2 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & b_n
\end{vmatrix}.
\]
- 方程组 11.1 只有零解 \(\Longleftrightarrow D \neq 0\)，方程组 11.1 有非零解（无穷多解）\(\Longleftrightarrow D = 0\)，即 \(r(A) < n\)；
- 方程组 11.2 有唯一解 \(\Longleftrightarrow D \neq 0\)，此时 \(x_i = \frac{D_i}{D} (i = 1, 2, \ldots, n)\)，当 \(D = 0\) 时，方程组 11.2 要么无解，要么有无穷多解。
齐次线性方程组解的一般理论
定理
齐次线性方程组 \(AX = 0\) 的解空间为 \(R^n\) 的子空间.
- 这一线性空间我们通常记为 \(N(A)\).
在高斯消元法求解线性方程组的最后一步，我们选取了自由未知量，然后将线性方程组的解表达为了如下形式：
\[
X = k_1 X_1 + k_2 X_2 + \cdots + k_{n-r} X_{n-r},
\]
其中 \(X_1, \ldots, X_{n-r}\) 我们称为线性方程组的基础解系.
注：基础解系指的是一组线性无关的向量组，是解空间的基.
定理
矩阵 \(A \in M_{m \times n}(\mathbb{F})\)，若 \(r(A) = r\)，则该齐次线性方程组 \(AX = 0\) 的解空间维数为 \(n - r\)，且其一组基就是基础解系 \(X_1, \ldots, X_{n-r}\).
注：这是维数公式在矩阵上的体现.
非齐次线性方程组解的一般理论
定理
如果 \(n\) 元非齐次线性方程组有解，则它的解集 \(U = \{\gamma_0 + \eta | \eta \in W\}\). 其中 \(\gamma_0\) 为该非齐次线性方程组的一个解（称为特解）, \(W\) 为相应齐次线性方程组的解空间（称为通解）.
更具体地，设非齐次线性方程组 \(AX = b\) 有特解 \(X_0\)，方程 \(AX = 0\) 的基础解系为 \(X_1, \ldots, X_n\)，则这一定理告诉我们 \(AX = b\) 的任何一个解都可以写为
\[
X = X_0 + k_1 X_1 + k_2 X_2 + \cdots + k_n X_n,
\]
的形式.
进一步可以得到下述结论：
- \(n\) 元非齐次线性方程组的两个解的差是它的导出组（相应的齐次线性方程组）的一个解；
-
\(n\) 元非齐次线性方程组的一个解与它的导出组的一个解之和仍是非齐次线性方程组的一个解.
-
非齐次线性方程组的特解事实上与对应的齐次线性方程组的基础解系也是线性无关的.