06 线性映射矩阵表示与矩阵运算基础
线性映射矩阵表示就是将线性映射 \(\sigma\) 出发空间的一组基 \(B_1\) 的像在到达空间的基 \(B_2\) 下的坐标表示按列排列得到的结果.
矩阵线性空间的同构
定理：线性映射与矩阵的同构
设 \(V_1\), \(V_2\) 分别是 \(n\) 维和 \(m\) 维线性空间，则 \(\mathcal{L}(V_1, V_2) \cong F^{m×n}\) 是同构的.
定理：线性映射对向量坐标的影响
设 \(\sigma \in \mathcal{L}(V_1, V_2)\) 关于 \(V_1\) 和 \(V_2\) 的基 \(B_1\) 和基 \(B_2\) 的矩阵为 \(A = (a_{ij} )_{m×n}\)，且 \(\alpha\) 与 \(\sigma(\alpha)\) 在基 \(B_1 = (\alpha_1, \dots , \alpha_n)\) 和 \(B_2 = (\beta_1, \dots , \beta_m)\) 下的坐标分别为 \(X\) 和 \(Y\) ，则 \(Y = AX.\)
矩阵乘法
定义：矩阵乘法
设 \(A = (a_{ij} )_{p×m}, B = (b_{ij} )_{m×n}\)，我们定义 \(A\) 与 \(B\) 的乘积矩阵 \(C = AB = (c_{ij} )_{p×n}\) 是一个 \(p \times n\) 矩阵，其中它的第 \(i\) 行第 \(j\) 列元素为矩阵 \(A\) 的第 \(i\) 行与矩阵 \(B\) 的第 \(j\) 列对应位置元素相乘后求和的结果，即
矩阵乘法的性质
- \((AB)C = A(BC)\)（结合律）
- \(\lambda(AB) = (\lambda A)B = A(\lambda B), \lambda \in F\)
- \(A(B + C) = AB + AC\)（左分配律）
- \((B + C)P = BP + CP\)（右分配律）
假设矩阵 \(A = (a_{ij} )_{m×n}\) 与 \(B = (b_{ij} )_{n×l}\) 相乘，我们有如下结论：
- 乘积的第 \(k\) 列等于 \(A\) 乘以 \(B\) 的第 \(k\) 列，乘积的第 \(j\) 行等于 \(A\) 的第 \(j\) 行乘以 \(B.\)
- 乘积的每一列都是矩阵 A 各列的线性组合，每一行都是矩阵 B 各行的线性组合.
注：
- 矩阵乘法不一定满足交换律，因此实数的完全平方公式代入矩阵不一定成立，即很多时候 \((A + B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2 \neq A^2 + 2AB + B^2;\)
- 数量矩阵（即对角线上元素都相等，其余均为 0，单位矩阵是其特例）和任何同阶的矩阵相乘都是可交换的，这一点在矩阵求幂时很有用;
- \(A \neq O\) 且 \(B \neq O\) 不能推出 \(AB \neq O\). 例如线性方程组 \(AX = 0\) 有非零解，若 \(B\) 的各列均为方程非零解，则 \(AB = O;\)
- 消去律也不一定满足：即 \(AB = AC\) 不一定 \(B = C\). 原因在于 \(AB = AC \Rightarrow A(B − C) = O\)，由 (3) 可知不一定 \(B = C\).
矩阵的逆
定义：矩阵的逆
设 \(A \in M_n(F)\). 若存在 \(B \in M_n(F)\) 使得 \(AB = BA = E_n\)（不刻意强调时可以省略 \(n\) ），则称矩阵 \(A\) 可逆，并把 \(B\) 称为 \(A\) 的逆矩阵，记作 \(B = A^{−1}.\) 可逆矩阵也被称为非奇异矩阵，不可逆矩阵被称为奇异矩阵.
定理
可逆矩阵 \(A\) 的逆矩阵唯一.
定理
设 \(A, B \in M_n(F)\)，则 \(AB = E \Leftrightarrow A\) 与 \(B\) 互为逆矩阵. (即在定义的基础上可省略证明 \(A,B\) 可交换).
对于 \(n\times m\) 矩阵 \(A\) 和 \(m\times n\) 矩阵 \(B\)，若 \(AB = E\)，则必有 \(B\) 的列向量线性无关. 作转置可得 \(B^TA^T = E\)，则 \(A^T\) 的列向量线性无关，故 \(AB = E\) 还可以得到 \(A\) 的行向量线性无关.
基本性质
-
主对角元都是非零数的对角矩阵一定可逆，且逆矩阵就是对角线上元素取倒数（单位矩阵即为特例，其逆矩阵是其自身）；
-
注意没有加法性质（例如 \(A\) 可逆（则 \(−A\) 也可逆），但 \(A + (−A) = O\) 不可逆），对于数乘有 \((\lambda A)^{−1} = \lambda^{-1}A^{−1}\)；
-
\((AB) ^{−1} = B^{−1}A^{−1}\) , \((A_1A_2 \dots A_k)^{-1} = A^{-1}_k \dots A^{-1}_2A^{−1}_1\)；
（证明方法：直接验证相乘是否为单位矩阵，然后利用逆的唯一性）
-
\((A^k )^{−1} = (A^{−1})^k , A^kA^m = A^{k+m}, (A^k )^m = A^{km}\)；注意这里的 \(k\) 和 \(m\) 不一定需要非负，事实上负数就是逆矩阵的幂次或幂次的逆，如 \(A^{−2} = (A^{−1})^2 = (A^2)^{−1}\)；
-
若 \(A\) 可逆，则消去律成立，即 \(AB = AC \Rightarrow B = C\) 成立，我们只需在 \(AB = AC\) 的等式两边同时左乘 \(A^{−1}\) 即可证明（ \(BA = CA\) 的情况也是成立的，只需要等式两边同时右乘 \(A^{−1}\) 即可证明）. 这个结论的一个显然的推论是，若 \(A\) 可逆且 \(AB = O\)（或 \(BA = O\)）可以推出 \(B = O\)（令 \(C = O\) 即可）.
矩阵的转置
基本性质
- \((A^T)^ T = A\)
- \((A + B)^ T = A^T + B^T\)
- \((\lambda A)^ T = \lambda A^T, \lambda \in F\)
- \((AB) ^T = B^TA^T,(A_1A_2 \cdots A_n) ^T = A^T_ n \cdots A^T _2 A^T _1 ,(A^T)^ m = (A^m) ^T\)
- \((A^T) ^{−1} = (A^{−1} )^ T\)
定义：对称矩阵与反对称矩阵
设 \(A = (a_{ij} )_{n×n}\)，如果 \(\forall i, j \in \{1, 2, \dots , n\}\) 均有 \(a_{ij} = a_{ji}\)，则称 \(A\) 为对称矩阵. 若均有 \(a_{ij} = −a_{ji}\)，则称 \(A\) 为反对称矩阵.
由定义易知 \(A\) 为对称矩阵的充要条件为 \(A = A^T\)，\(A\) 为反对称矩阵的充要条件为 \(A = −A^T\).
分块矩阵
定义：分块矩阵
一般地，对于 \(m\times n\) 矩阵 \(A\)，如果在行的方向分成 \(s\) 块，在列的方向分成 \(t\) 块，就得到 \(A\) 的一个 \(s \times t\) 分块矩阵，记作 \(A = (A_{kl})_{s\times t}\)，其中 \(A_{kl} (k = 1, \dots , s, l = 1, \dots , t)\) 称为 \(A\) 的子块.
分块矩阵的运算性质
- 分块矩阵的加法：设分块矩阵 \(A = (A_{kl})_{s\times t}\) , \(B = (B_{kl})_{s\times t}\) . 如果 \(A\) 与 \(B\) 对应的子块 \(A_{kl}\) 和 \(B_{kl}\) 都是同型矩阵，则
- 分块矩阵的数乘：设分块矩阵 \(A = (A_{kl})_{s\times t}\)，\(\lambda\) 是一个数，则
- 分块矩阵的乘法：设 \(A = (a_{ij} )_{m\times n}, B = (b_{ij} )_{n\times p}\)，如果把 \(A, B\) 分别分块为 \(r \times s\) 和 \(s \times t\) 分块矩阵，且 \(A\) 的列分块法与 \(B\) 的行分块法相同（注意这些条件始终保证可乘性成立），则
其中 \(C\) 是 \(r \times t\) 分块矩阵，且 \(C_{kl}\) 与一般矩阵计算类似，即为 \(A\) 第 \(k\) 行块 \(B\) 的 \(l\) 列块对应元素相乘后相加，即
- 分块矩阵的转置：大、小矩阵都要转置，这是分块矩阵与普通矩阵的一大性质差异；即 \(s \times t\) 分块矩阵 \(A = (A_{kl})_{s×t}\) 转置后 \(A^T = (B_{lk})_{t×s}\) 为 \(t \times s\) 分块矩阵，且 \(B_{lk} = A^T _{kl}\).
例如