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05 线性映射

线性映射的定义

定义：线性映射

从线性空间 \(V_1(F)\) 到 \(V_2(F)\) 的一个映射 \(\sigma\) 是线性的，如果 \(\forall \alpha, \beta \in V_1\) 和 \(\forall \lambda, \mu \in F\) 都有

\[ σ(λα + µβ) = λσ(α) + µσ(β). \]

从线性空间 \(V\) 到自身的线性映射 \(\sigma\) 也叫作 \(V\) 上的线性变换，在有的教材中也称为算子. 从线性空间 \(V (F)\) 到域 \(F\) 的线性映射 \(f\) 叫作 \(V\) 上的线性泛函（或称线性函数，线性形式）.

为方便称呼，我们称对于 \(V_1(F)\) 到 \(V_2(F)\) 的线性映射 \(\sigma\)，\(V_1(F)\) 是其出发空间，\(V_2(F)\) 是其到达空间，也可简记为 \(\sigma : V_1 \rightarrow V_2\).

定理

设 \(\sigma\) 是线性空间 \(V_1(F)\) 到 \(V_2(F)\) 的线性映射，则 \(\sigma(0_1) = 0_2\).

定理

设 \(\sigma\) 是线性空间 \(V_1(F)\) 到 \(V_2(F)\) 的线性映射，如果 \(V_1\) 中向量 \(\alpha_1, \alpha_2, \dots , \alpha_n\) 线性相关，则 \(\sigma(\alpha_1), \sigma(\alpha_2), \dots , \sigma(\alpha_n)\) 也线性相关. 反之，若 \(\sigma(\alpha_1), \sigma(\alpha_2), .\dots , \sigma(\alpha_n)\) 线性无关，则 \(\alpha_1, \alpha_2, \dots , \alpha_n\) 必线性无关.

注：线性映射可能将线性无关的向量组映射为线性相关的向量组

把线性空间 \(V_1(F)\) 到 \(V_2(F)\) 的所有线性映射组成的集合记作 \(\mathcal{L}(V_1, V_2).\)

定义：线性映射的和与数乘运算

设 \(\sigma, \tau \in \mathcal{L}(V_1, V_2)\)，规定 \(\sigma\) 与 \(\tau\) 之和及 \(\lambda\) 与 \(\sigma\) 的数乘 \(\lambda\sigma\) 分别为

\[ (\sigma + \tau )(\alpha) = \sigma(\alpha) + \tau (\alpha), \forall\alpha \in V_1 \]
\[ (\lambda\sigma)(\alpha) = \lambda(\sigma(\alpha)), \forall\alpha \in V_1 \]
定理

\(\mathcal{L}(V_1, V_2)\) 与上述定义的线性映射加法和数乘构成域 \(\mathbb{F}\) 上的线性空间.

定义：线性映射的复合运算

设 \(\sigma \in \mathcal{L}(V_1, V_2), \tau \in \mathcal(V_2, V_3)\)，则\(\tau\sigma\) 是 \(\mathcal{L}(V_1, V_3)\) 中的元素，且 \(\tau\sigma(\alpha) = \tau (\sigma(\alpha)), \forall\alpha \in V_1\).

定理

上述定义的映射 \(\sigma\tau\) 是线性映射.

定义：线性映射的逆运算

设\(\sigma \in \mathcal{L}(V_1, V_2)\). 若存在 \(\tau \in \mathcal{L}(V_2, V_1)\) 使得 \(\sigma\tau = I_{V_2}\) 且 \(\tau\sigma = I_{V_1}\)，则称 \(\sigma\) 可逆，并称 \(\tau\) 为 \(\sigma\) 的逆映射. 其中 \(I_{V_1}\) 和 \(I_{V_2}\) 分别是 \(V_1\) 和 \(V_2\) 上的恒等映射，即 \(I_{V_i}(\alpha) = \alpha, \forall\alpha \in V_i , i = 1, 2\)

定理

上述定义的逆映射 \(\sigma^{-1}\) 为线性映射.

线性映射的像与核

定义：线性映射的像与核

设 \(\sigma\) 是线性空间 \(V_1(F)\) 到 \(V_2(F)\) 的线性映射. \(V_1\) 的所有元素在 \(\sigma\) 下的像组成的集合

\[ \sigma(V_1) = \{\beta | \beta = \sigma(\alpha), \alpha \in V_1\} \]

称为 σ 的像（或值域），记作 \(\operatorname{im} \sigma\)，或记作 \(\operatorname{range} \sigma\).

\(V_2\) 的零元 \(0_2\) 在 \(\sigma\) 下的完全原像

\[ σ^{−1}(0_2) = \{\alpha | \sigma(\alpha) = 0_2, \alpha \in V_1\} \]

称为 σ 的核（或零空间），记作 \(\operatorname{ker} \sigma\)，或记作 \(\operatorname{null} \sigma\).

注意线性映射的像和核分别是 \(V_2\) 和 \(V_1\) 的子空间. 同样地，若 \(W_1\) 和 \(W_2\) 分别是 \(V_1\) 和 \(V_2\) 的子空间，则 \(\sigma(W_1)\) 和 \(\sigma^{-1} (W_2)\) 也分别是 \(V_2\) 和 \(V_1\) 的子空间.

计算线性空间的像与核
计算像空间

设出发空间的一组基为 \(B = \{\alpha_1, \alpha_2, \dots , \alpha_n\}\)，则像空间

\[ \operatorname{im} \sigma = \sigma(V_1) = span(\sigma(\alpha_1), \sigma(\alpha_2), \dots , \sigma(\alpha_n)). \]

即线性映射在出发空间一组基下的像的线性扩张，解答时写出极大线性无关组然后扩张即可；

计算核空间

核空间可以直接利用定义令 \(\sigma(\alpha) = 0\)，利用解线性方程组得到解集即为结果，注意也许表示为线性扩张的形式.

定理

线性映射 \(\sigma\) 是单射当且仅当 \(\operatorname{ker} \sigma = \{0\}.\)

线性映射的确定

定理

已知线性映射 \(\sigma, \tau \in \mathcal{L}(V_1, V_2)\)，且有 \(V_1\) 的基 \(B = \{\alpha_1, \alpha_2, \dots , \alpha_n\}\). 若 \(\sigma(\alpha_i) =\tau (\alpha_i)\), \(\forall\alpha_i \in B\)，则有 \(\sigma = \tau\) .

定理

设 \(B = \{\alpha_1, \alpha_2, \dots , \alpha_n\}\) 是 \(V_1\) 的基，\(S = \{\beta_1, \beta_2, \dots , \beta_n\}\) 是 \(V_2\) 中任意 \(n\) 个向量，则存在唯一的 \(\sigma \in \mathcal{L}(V_1, V_2)\) 使得 \(\sigma(\alpha_i) = \beta_i , i = 1, 2, . . . , n\).

即：出发空间一组基的像确定，则线性映射确定.

判断线性映射是否存在
  1. 如果题目条件无法满足将出发空间零元映射至到达空间零元则一定不是线性映射；
  2. 如果映射将线性相关的向量组映射到了线性无关向量组，则一定不是线性映射；
  3. 不存在从低维线性空间到高维线性空间的满射；
  4. 不存在从高维线性空间到低维线性空间的单射.

线性映射基本定理

定义：线性映射的秩

设 \(\sigma \in \mathcal{L}(V_1, V_2)\)，如果 \(\sigma(V_1)\) 是 \(V_2\) 的有限维子空间，则 \(\sigma(V_1)\) 的维数称为 \(\sigma\) 的秩，记作 \(r(\sigma)\)，即 \(r(\sigma) = dim \sigma(V_1) = dim \operatorname{im} \sigma\).

定理：线性映射基本定理

设 \(\sigma \in \mathcal{L}(V_1, V_2)\) ，若 \(dim V_1 = n\)，则

\[ r(\sigma) + dim \operatorname{ker} \sigma = n. \]

即：线性映射的秩（或者说线性映射像空间维数）与核空间维数之和等于出发空间的维数.

定理

对 \(\sigma \in \mathcal{L}(V_1, V_2)\) 且 \(dim V_1 = dim V_2 = n\)，下列条件等价：

  1. \(\operatorname{ker} \sigma = \{0\}\)；
  2. \(\sigma\) 为单射；
  3. \(\sigma\) 为满射；
  4. \(\sigma\) 为双射（可逆）；
  5. \(r(\sigma) = n\).

可逆与同构

定义：线性空间的同构

如果由线性空间 \(V_1(F)\) 到 \(V_2(F)\) 存在一个线性双射 \(\sigma\) ，则称 \(V_1(F)\) 和 \(V_2(F)\) 是同构的，记作 \(V_1(F) \cong V_2(F)\). σ 称为 \(V_1(F)\) 到 \(V_2(F)\) 的一个同构映射（或同构）.

注：

  1. 在线性映射的语境下，双射与可逆是完全等价的.
  2. 线性空间之间的同构关系也是一种等价关系.
  3. 同构映射的逆映射也是同构映射，即线性双射的逆映射仍然是线性双射.
  4. 两个同构映射的复合也是同构的.
  5. 对同构映射 \(\sigma\)，\(V_1\) 中向量组 \(\alpha_1, \alpha_2, \dots , \alpha_m\) 与 \(V_2\) 中对应的 \(\sigma(\alpha_1), \sigma(\alpha_2), \dots , \sigma(\alpha_m)\)有相同的线性相关性.
定理

设 \(\sigma\) 是 \(V_1\) 到 \(V_2\) 的同构映射，\(S_1 = \{\alpha_1, \alpha_2, \dots , \alpha_m\}\) 是 \(V_1\) 的任意一组向量，\(S_2 = \{\sigma(\alpha_1), \sigma(\alpha_2), \dots , \sigma(\alpha_m)\}\)，则 \(r(S_1) = r(S_2)\)，即同构映射保持映射前后向量组秩不变.

定理：同构的等价条件

两个线性空间 \(V_1(F)\) 和 \(V_2(F)\) 同构的充要条件是它们的维数相等.