04 线性空间的运算
线性空间的交、并、和
定义：线性空间的交、并、和
设 \(W_1, W_2\) 是线性空间 \(V (F)\) 的两个子空间，则
\[
W_1 \cap W2 = \{\alpha | \alpha \in W_1 且 \alpha \in W_2\}
\]
\[
W_1 \cup W2 = \{\alpha | \alpha \in W_1 或 \alpha \in W_2\}
\]
\[
W_1 + W_2 = \{\alpha_1 + \alpha_2 | \alpha_1 \in W_1, \alpha_2 \in W_2\}
\]
分别称为 \(W_1\) 和 \(W_2\) 的交、并、和.
定理
设 \(W_1, W_2\) 是线性空间 \(V (F)\) 的两个子空间，则
- \(W_1 \cap W_2\) 是 \(V\) 的子空间；
- \(W_1 + W_2\) 是 \(V\) 的子空间；
- \(W_1\cup W_2\) 为 \(V\) 的子空间 \(\Leftrightarrow\) \(W_1 \subseteq W_2 或 W_2 \subseteq W_1 \Leftrightarrow W_1\cup W_2 = W_1+W_2\).
覆盖定理
设 \(V_1, V_2, \dots , V_s\) 是数域 \(F\) 上线性空间 \(V (F)\) 的 \(s\) 个非平凡子空间，则 \(V\) 中至少存在一个向量不属于 \(V_1, V_2, \dots , V_s\) 中的任何一个，即 \(V_1 \cup V_2 \cup \cdots \cup V_s \subsetneq V\) .
如：有限条直线的不可能是一个平面.
维数公式
设 \(W_1, W_2\) 是线性空间 \(V (F)\) 的两个子空间，则
\[
dim W_1 + dim W_2 = dim(W_1 + W_2) + dim(W_1 \cap W_2).
\]
线性空间的直和
定义：线性空间的直和与互补子空间
设 \(W_1, W_2\) 是线性空间 \(V (F)\) 的两个子空间. 若 \(W_1 \cap W_2 = \{0\}\)，则 \(W_1 + W_2\) 叫做 \(W_1\) 与 \(W_2\) 的直和，记作 \(W_1 \oplus W_2\).
进一步地，若 \(V = W_1 \oplus W_2\)，则称 \(W_1, W_2\) 为互补子空间，或 \(W_1\) 是 \(W_2\) 的补空间，或 \(W_2\) 是 \(W_1\) 的补空间.
定理
对于子空间 \(W_1, W_2\)，下列命题等价：
- \(W_1 + W_2\) 是直和，即 \(W_1 \cap W_2 = \{0\}\)；
- \(W_1 + W_2\) 中的每个向量 \(\alpha\) 的分解式 \(\alpha = \alpha_1 + \alpha_2 (\alpha_1 \in W_1, \alpha_2 \in W_2)\) 唯一；
- 零向量的分解式 \(0 = \alpha_1 + \alpha_2 (\alpha_1 \in W_1, \alpha_2 \in W_2)\) 仅当 \(\alpha_1 = \alpha_2 = 0\) 时成立；
- \(dim(W_1 + W_2) = dim W_1 + dim W_2\).