03 有限维线性空间
线性相关性
定义：线性相关性
设 \(V (F)\) 是一个线性空间，\(\alpha_1, \alpha_2, \dots , \alpha_m \in V\)，若存在不全为 0 的 \(\lambda_1, \lambda_2, \dots , \lambda_m \in F\)，使得
成立，则称 \(\alpha_1, \alpha_2, \dots , \alpha_m\) 线性相关，否则称线性无关（即系数只能为 0）.
定理
线性空间 \(V (F)\) 中的向量组 \(\alpha_1, \alpha_2, \dots , \alpha_m (m \ge 2)\) 线性相关的充分必要条件是 \(\alpha_1, \alpha_2, \dots , \alpha_m\) 中有一个向量可由其余向量在域 \(F\) 上线性表示.
定理
若向量组 \(\alpha_1, \alpha_2, \dots , \alpha_m\) 线性无关, 而向量组 \(\beta, \alpha_1, \alpha_2, \dots , \alpha_m\) 线性相关，则 \(\beta\) 可由 \(\alpha_1, \alpha_2, \dots , \alpha_m\) 线性表示, 且表示法唯一.
推论
若向量组外另一向量可由这一组向量线性表示，则 1. 向量组线性无关 \(\Leftrightarrow\) 表示方式唯一； 2. 向量组线性相关 \(\Leftrightarrow\) 表示方式有无穷多种.
基与维数
引理
设 \(\alpha_1, \alpha_2, \dots , \alpha_m\) 线性相关，则存在 \(j \in \{1, 2, \dots, m\}\) 使得： 1. \(\alpha_j \in \operatorname{span}(\alpha_1, \alpha_2, \dots , \alpha_j−1)\)； 2. 从\(\alpha_1, \alpha_2, \dots , \alpha_m\)中 删 去 向 量\(\alpha_j\)， 剩 余 向 量 张 成 空 间 仍 等 于\(\operatorname{span}(\alpha_1, \alpha_2, \dots , \alpha_m)\).
推论
\(\alpha_1, \alpha_2, \dots , \alpha_m\) 线性相关（其中 \(\alpha_1 = 0\)）的充要条件是存在一个向量 \(\alpha_i (1 < i ⩽ m)\) 可由 \(\alpha_1, \alpha_2, \dots , \alpha_i−1\) 线性表示，且表示法唯一.
定义：向量组的秩和极大线性无关组
设向量组 \(S = \{\alpha_1, \alpha_2, \dots , \alpha_m\}\) 张成的线性空间为 \(V\) ，若存在 \(S\) 的一个线性无关向量组 \(B = \{\alpha_{k1}, \alpha_{k2}, \dots , \alpha_{kr}\}\)，使得 \(V = \operatorname{span}(B)\)，则称 \(B\) 为 \(S\) 的一个极大线性无关组，并称极大线性无关组的长度 \(r = r(S)\) 为 \(S\) 的秩.
定理
设 \(V (F)\) 中向量组 \(\beta_1, \beta_2, \dots , \beta_s\) 的每个向量可由另一向量组 \(\alpha_1, \alpha_2, \dots , \alpha_r\) 线性表示. 若 \(s > r\)，则 \(\beta_1, \beta_2, \dots , \beta_s\) 线性相关.
即：多的向量组可以被少的向量组线性表示，多的一定线性相关，线性无关的向量只能被等长或更长的向量组线性表示.
推论
关于等价的向量组，我们有如下结论：
- 向量组与其极大线性无关组等价；
- 向量组的任意两个极大线性无关组等价；
- 向量组的任意两个极大线性无关组长度相等，即向量组的秩唯一.
定义：线性空间的维数
若线性空间 \(V (F)\) 的有限子集 \(B = \{\alpha_1, \alpha_2, \dots , \alpha_n\}\) 线性无关，且 \(\operatorname{span}(B) = V\) ，则称 \(B\) 为 \(V\) 的一组基，并称 \(n\) 为 \(V\) 的维数，记作 \(dim V = n\).
定理
如果 \(W\) 是 \(n\) 维线性空间 \(V\) 的一个子空间，则 \(W\) 的基可以扩充为 \(V\) 的基.
定义
\(V (F)\) 称为有限维线性空间，如果 \(V\) 中存在一个有限子集 \(S\) 使得 \(\operatorname{span}(S) = V\) ，反之称为无限维线性空间.
求极大线性无关组
引理 对一个矩阵做三类初等行变换均不改变矩阵的列的线性相关性.
将题目给定的向量按列排成矩阵，然后将矩阵作初等变换化成阶梯矩阵，找到每一行第一个非零元素所在的列，提取出原矩阵对应列的向量即可.
向量的坐标
定义：向量的坐标
设 \(B = \{\beta_1, \beta_2, \dots , \beta_n\}\) 是 \(n\) 维线性空间 \(V (F)\) 的一组基，如果 \(V\) 中元素 \(\alpha\) 表示为\(\alpha = a_1\beta_1 + a_2\beta_2 + \cdots + a_n\beta_n，\)则其系数组 \(a_1, a_2, \cdots , a_n\) 称为 \(\alpha\) 在基 \(B\) 下的坐标，记为 \(\alpha_B = (a_1, a_2, \dots , a_n)\).