02 线性空间基础

定义：线性空间

设 V 是一个非空集合，F 是一个数域，我们定义两种运算，其中第一个运算是我们熟知的加法 $+$. 在线性空间的定义中，我们要求 $\langle V : +\rangle$ 构成 Abel 群，即其中元素满足如下运算律：

(加法结合律) $\alpha + (\beta + \gamma) = (\alpha + \beta) + \gamma, \forall \alpha, \beta, \gamma \in V ；$
(加法单位元) $\exists 0 \in V 使得 \forall \alpha \in V$有 $\alpha + 0 = 0 + \alpha = \alpha$；
(逆元) $\forall \alpha \in V, \exists \beta \in V ，有 \alpha + \beta = \beta + \alpha = 0$，记 $\beta = −\alpha$；
(交换律) $\forall \alpha, \beta \in V, \alpha + \beta = \beta + \alpha.$

第二种运算和之前学习的其他代数结构不同，我们需要首先引入一个数域 $F$，接下来在 $F \times V$ 上定义取值于 $V$ 的数乘运算，即 $F \times V$ 中的每个元素 $(\lambda, \alpha) \mapsto \lambda\alpha \in V$，并且数乘运算满足以下性质：$\forall\alpha, \beta \in V, \forall\lambda, \mu \in F$ 以及 $F$ 上的乘法单位元 1，有

(数乘单位元) 1 · α = α；
(数乘结合律) λ(µα) = (λµ)α；
(数乘对数的分配律) (λ + µ)α = λα + µα；
(数乘对向量分配律) λ(α + β) = λα + λβ.

基于此，我们完整定义了一个线性空间，我们一般称集合 $V$ 关于上述两种运算在域$F$ 上构成一个线性空间，简称为 $V$ 在域 $F$ 上的线性空间，记作 $V (F)$. 如果 $F$ 是实（复）数域，则称 V 为实（复）数域上的线性空间.

定义：线性同构

设 V (F) 和 W(F) 是数域 F 上的线性空间，若映射 $\varphi: V (F) \rightarrow W(F)$ 满足

\[ \varphi(\alpha + \beta) = \varphi(\alpha) + \varphi(\beta), \forall\alpha, \beta \in V (F) \]

\[ \varphi(\lambda\alpha) = \lambda\varphi(\alpha), \forall\alpha \in V (F), \forall\lambda \in F \]

则称 $\varphi$ 是从 $V (F)$ 到 $W(F)$ 的一个同态，若 $\varphi$ 是双射，则称 $\varphi$ 是从 $V (F)$ 到 $W(F)$ 的一个同构，若 $\varphi$ 是从 $V (F)$ 到 $W(F)$ 的一个同构，则称线性空间 $V (F)$ 和 $W(F)$ 是同构的，记为 $V (F) \cong W(F)$.

定义：线性子空间

设 $W$ 是线性空间 $V (F)$ 的非空子集，如果 $W$ 对 $V$ 中的运算也构成域 $F$ 上的线性空间，则称 $W$ 是 $V$ 的线性子空间（简称子空间）.

定义：线性组合和线性表示

设 $V (F)$ 是一个线性空间，$\alpha_i \in V, \lambda_i \in F (i = 1, 2, \dots, m)，$则向量 $\alpha = \lambda_1\alpha_1 +\lambda_2\alpha_2 + \cdots + \lambda_m\alpha_m$ 称为向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \dots , \alpha_m$ 在域 $F$ 的线性组合，或说 $\alpha$ 在域 $F$上可用向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \dots , \alpha_m$ 线性表示.

定义：线性扩张

设 S 是线性空间 V (F) 的非空子集，我们称 $$ span(S) = {\lambda_1\alpha_1 + \dots + \lambda_k\alpha_k \quad|\quad \lambda_1, \dots , \lambda_k \in F, \alpha_1, \dots , \alpha_k \in S, \quad k \in N_+} $$ 为 $S$ 的线性扩张，即 $S$ 中所有有限子集在域 $F$ 上的一切线性组合组成的 $V (F)$ 的子集.

注：教材《大学数学：代数与几何》上记为$L(S)$.

定理

线性空间 $V (F)$ 的非空子集 $S$ 的线性扩张 $span(S)$ 是 $V$ 中包含 $S$ 的最小子空间.