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01 预备知识

基本代数结构

定义：代数系统

一般地，我们把一个非空集合 X 和与 X 相关的若干代数运算 \(f_1\), . . . , \(f_k\) 组成的系统称为代数系统（简称代数系），记作 \(\langle X : f1, . . . , f_k \rangle\). 在此基础上，我们把定义在集合上的运算具有某些特定性质的一类代数系统称为代数结构.

定义: 群

若运算 ◦ 满足结合律，则称代数系统 \(\langle G: ◦\rangle\) 为半群；若在半群基础上存在单位元，则称之为含幺半群；若在含幺半群基础上每个元素存在逆元，则称之为群；若在群的基础上运算还满足交换律，则称之为 Abel 群，也称交换群.

定理
  1. 群的单位元唯一；
  2. 群中每个元素的逆元唯一.
定义: 域

我们称代数系统 \(\langle F : +, ◦\rangle\) 为一个域，如果

  1. \(\langle F : +\rangle\) 是交换群，其单位元记作 0；

  2. \(\langle F\setminus \{0\}: ◦\rangle\) 是交换群；

  3. 运算 ◦ 对 + 满足左、右分配律，即

\[ a ◦ (b + c) = a ◦ b + a ◦ c \]
\[ (b + c) ◦ a = b ◦ a + c ◦ a \]
定理

关于数域，我们有如下两个结论：

  1. 数集 F 对数的加法和乘法构成数域的充要条件为：F 包含 0, 1 且对数的加、减、乘、除（除数不为 0）运算封闭；

  2. 任何数域都包含有理数域 Q，即 Q 是最小的数域.

等价关系

定义

集合 A 中关系若满足以下条件：

  • (自反性) \(\forall a \in A, a R a\)；
  • (对称性) 若 \(a R b\)，则 \(b R a\)；
  • (传递性) 若 \(a R b\)，\(b R c\)，则 \(a R c\)， 则称 \(R\) 为 \(A\) 的一个等价关系. 进一步地，若 \(R\) 是集合 \(A\) 的一个等价关系且 \(a, b \in A\)，若 \(a R b\)，则称 \(a，b\) 关于 \(R\) 是等价的，并把 \(A\) 中所有与 \(a\) 等价的元素集合
\[ \bar{a} = \{b \in A | b R a\} \]

称为 \(a\) 所在的等价类，\(a\) 称为这个等价类的代表元素，并记 \(\{\bar{a}\}\) 为所有等价类为元素构成的集族.